ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\frac{1}{{\cos }^{2}t}-1$

б) $\frac{1-{\sin }^{2}t}{{\cos }^{2}t}$

в) $1-\frac{1}{{\sin }^{2}t}$

г) $\frac{1-{\cos }^{2}t}{1-{\sin }^{2}t}$

Упростить выражение:

а) $\frac{1}{\cos^2 t} — 1 = \frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$;

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.

б) $\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$;

Ответ: $1$.

в) $1 — \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t — (\sin^2 t + \cos^2 t)}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\operatorname{ctg}^2 t$;

Ответ: $-\operatorname{ctg}^2 t$.

г) $\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t} = \frac{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \cos^2 t}{(\sin^2 t + \cos^2 t) — \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \operatorname{tg}^2 t$;

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.

а) $\frac{1}{\cos^2 t} — 1$

Начальное выражение:

$$\frac{1}{\cos^2 t} — 1$$

Приводим ко всем общему знаменателю:

$$\frac{1}{\cos^2 t} — 1 = \frac{1}{\cos^2 t} — \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t}$$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Замечаем, что $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = \operatorname{tg}^2 t$.

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.

б) $\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t}$

Начальное выражение:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы заменить $1 — \sin^2 t$:

$$1 — \sin^2 t = \cos^2 t$$

Подставляем в числитель:

$$\frac{1 — \sin^2 t}{\cos^2 t} = \frac{\cos^2 t}{\cos^2 t}$$

Простая упрощение:

$$\frac{\cos^2 t}{\cos^2 t} = 1$$

Ответ: $1$.

в) $1 — \frac{1}{\sin^2 t}$

Начальное выражение:

$$1 — \frac{1}{\sin^2 t}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$1 — \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\sin^2 t} — \frac{1}{\sin^2 t} = \frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t}$$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы заменить $1$:

$$\sin^2 t — 1 = -\cos^2 t$$

Подставляем:

$$\frac{\sin^2 t — 1}{\sin^2 t} = \frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t}$$

Замечаем, что $\frac{\cos^2 t}{\sin^2 t} = \left(\frac{\cos t}{\sin t}\right)^2 = \operatorname{ctg}^2 t$.

Значит, получаем:

$$\frac{-\cos^2 t}{\sin^2 t} = -\operatorname{ctg}^2 t$$

Ответ: $-\operatorname{ctg}^2 t$.

г) $\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t}$

Начальное выражение:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t}$$

Используем тригонометрическое тождество $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, чтобы выразить $1 — \cos^2 t$ и $1 — \sin^2 t$:

$$1 — \cos^2 t = \sin^2 t, \quad 1 — \sin^2 t = \cos^2 t$$

Подставляем в дробь:

$$\frac{1 — \cos^2 t}{1 — \sin^2 t} = \frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}$$

Замечаем, что $\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t} = \left(\frac{\sin t}{\cos t}\right)^2 = \operatorname{tg}^2 t$.

Ответ: $\operatorname{tg}^2 t$.