ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\frac{{\cos }^{2}t}{1-\sin t}-\sin t=1$$

б)

$$\frac{{\sin }^{2}t}{1+\cos t}+\cos t=1$$

а)

$$\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1;$$

Решение:

$$\frac{\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t)}{1 — \sin t} = 1;$$ $$\frac{\cos^2 t + \sin^2 t — \sin t}{1 — \sin t} = 1;$$ $$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1;$$

Решение:

$$\frac{\sin^2 t + \cos t \cdot (1 + \cos t)}{1 + \cos t} = 1;$$ $$\frac{\sin^2 t + \cos^2 t + \cos t}{1 + \cos t} = 1;$$ $$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

а)

$$\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = 1$$

Шаг 1: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю.

Для этого перепишем выражение так, чтобы обе части имели общий знаменатель. Левую часть уравнения можно переписать как одну дробь. Для этого нужно привести второй член $— \sin t$ к общему знаменателю $1 — \sin t$.

Мы имеем:

$$\frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \sin t = \frac{\cos^2 t}{1 — \sin t} — \frac{\sin t (1 — \sin t)}{1 — \sin t}$$

Шаг 2: Упрощаем числитель.

Теперь можно объединить дроби, так как у них одинаковый знаменатель:

$$\frac{\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t)}{1 — \sin t}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\cos^2 t — \sin t \cdot (1 — \sin t) = \cos^2 t — \sin t + \sin^2 t$$

Так как $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$ (основное тригонометрическое тождество), получаем:

$$\cos^2 t — \sin t + \sin^2 t = 1 — \sin t$$

Таким образом, дробь принимает вид:

$$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь.

Теперь видно, что числитель и знаменатель одинаковы, так что дробь равна 1:

$$\frac{1 — \sin t}{1 — \sin t} = 1$$

Шаг 4: Проверяем результат.

Мы пришли к равенству:

$$1 = 1$$

Это очевидное тождество, следовательно, исходное уравнение верно.

Тождество доказано.

б)

$$\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = 1$$

Шаг 1: Приводим обе части уравнения к общему знаменателю.

Как и в первом случае, мы должны объединить все выражения в одну дробь. Для этого перепишем второй член $\cos t$ с таким знаменателем $1 + \cos t$:

$$\frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \cos t = \frac{\sin^2 t}{1 + \cos t} + \frac{\cos t (1 + \cos t)}{1 + \cos t}$$

Шаг 2: Упрощаем числитель.

Теперь объединим дроби, у которых одинаковый знаменатель:

$$\frac{\sin^2 t + \cos t \cdot (1 + \cos t)}{1 + \cos t}$$

Раскроем скобки в числителе:

$$\cos t \cdot (1 + \cos t) = \cos t + \cos^2 t$$

Таким образом, числитель принимает вид:

$$\sin^2 t + \cos t + \cos^2 t$$

Так как $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$, числитель упростится до:

$$1 + \cos t$$

Теперь дробь выглядит так:

$$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t}$$

Шаг 3: Упрощаем дробь.

Числитель и знаменатель одинаковы, поэтому дробь равна 1:

$$\frac{1 + \cos t}{1 + \cos t} = 1$$

Шаг 4: Проверяем результат.

Мы пришли к равенству:

$$1 = 1$$

Это очевидное тождество, следовательно, исходное уравнение верно.

Тождество доказано.