ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.7 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

а) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

б) $\sin t = \frac{5}{13}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

в) $\sin t = -0.6$, где $-\frac{\pi}{2} < t < 0$;

г) $\sin t = -0.28$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$

Найти значения остальных тригонометрических функций:

а) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{\frac{25}{25} — \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = -\frac{4}{3};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $\cos t = -\frac{3}{5}; \, \tg t = -\frac{4}{3}; \, \ctg t = -\frac{3}{4}.$

б) $\sin t = \frac{5}{13}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{13} \cdot \frac{13}{12} = \frac{5}{12};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{12}{5};$$

Ответ: $\cos t = \frac{12}{13}; \, \tg t = \frac{5}{12}; \, \ctg t = \frac{12}{5}.$

в) $\sin t = -0.6$, где $-\frac{\pi}{2} < t < 0$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\cos t = +\sqrt{1 — \sin^2 t} = \sqrt{1 — 0.36} = \sqrt{0.64} = 0.8;$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-0.6}{0.8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{4}{3};$$

Ответ: $\cos t = 0.8; \, \tg t = -\frac{3}{4}; \, \ctg t = -\frac{4}{3}.$

г) $\sin t = -0.28$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t = -0.28 = -\frac{28}{100} = -\frac{7}{25};$$ $$\cos t = -\sqrt{1 — \sin^2 t} = -\sqrt{\frac{625}{625} — \frac{49}{625}} = -\sqrt{\frac{576}{625}} = -\frac{24}{25};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} = \frac{7}{25} \cdot \frac{25}{24} = \frac{7}{24};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\cos t = -\frac{24}{25}; \, \tg t = \frac{7}{24}; \, \ctg t = \frac{24}{7}.$

а) $\sin t = \frac{4}{5}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ находится во второй четверти, так как угол $t$ больше $\frac{\pi}{2}$ и меньше $\pi$. В этой четверти синус положительный, а косинус отрицательный.

Найдем $\cos t$:

Из основного тригонометрического тождества:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\sin t = \frac{4}{5}$ в это тождество:

$$\left( \frac{4}{5} \right)^2 + \cos^2 t = 1$$ $$\frac{16}{25} + \cos^2 t = 1$$

Чтобы найти $\cos^2 t$, вычитаем $\frac{16}{25}$ из обеих сторон уравнения:

$$\cos^2 t = 1 — \frac{16}{25} = \frac{25}{25} — \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

Теперь извлекаем квадратный корень из обеих сторон:

$$\cos t = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}$$

Поскольку угол $t$ находится во второй четверти (где косинус отрицателен), то:

$$\cos t = -\frac{3}{5}$$

Найдем $\tg t$:

Тангенс угла $t$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = \frac{4}{5}$ и $\cos t = -\frac{3}{5}$:

$$\tg t = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$$

Найдем $\ctg t$:

Котангенс угла $t$ равен обратному значению тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = -\frac{4}{3}$:

$$\ctg t = -\frac{3}{4}$$

Ответ для пункта а):

$$\cos t = -\frac{3}{5}, \, \tg t = -\frac{4}{3}, \, \ctg t = -\frac{3}{4}$$

б) $\sin t = \frac{5}{13}$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ находится в первой четверти, так как угол $t$ больше 0 и меньше $\frac{\pi}{2}$. В этой четверти все тригонометрические функции (синус, косинус и тангенс) положительны.

Найдем $\cos t$:

Опять используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем значение $\sin t = \frac{5}{13}$:

$$\left( \frac{5}{13} \right)^2 + \cos^2 t = 1$$ $$\frac{25}{169} + \cos^2 t = 1$$

Чтобы найти $\cos^2 t$, вычитаем $\frac{25}{169}$ из обеих сторон:

$$\cos^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

Найдем $\tg t$:

Тангенс угла $t$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = \frac{5}{13}$ и $\cos t = \frac{12}{13}$:

$$\tg t = \frac{\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} = \frac{5}{12}$$

Найдем $\ctg t$:

Котангенс угла $t$ равен обратному значению тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = \frac{5}{12}$:

$$\ctg t = \frac{12}{5}$$

Ответ для пункта б):

$$\cos t = \frac{12}{13}, \, \tg t = \frac{5}{12}, \, \ctg t = \frac{12}{5}$$

в) $\sin t = -0.6$, где $-\frac{\pi}{2} < t < 0$;

Точка $t$ находится в четвертой четверти, так как угол $t$ больше $-\frac{\pi}{2}$ и меньше 0. В этой четверти синус отрицателен, а косинус положителен.

Найдем $\cos t$:

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\sin t = -0.6$:

$$(-0.6)^2 + \cos^2 t = 1$$ $$0.36 + \cos^2 t = 1$$

Чтобы найти $\cos^2 t$, вычитаем 0.36 из обеих сторон:

$$\cos^2 t = 1 — 0.36 = 0.64$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\cos t = \sqrt{0.64} = 0.8$$

Найдем $\tg t$:

Тангенс угла $t$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = -0.6$ и $\cos t = 0.8$:

$$\tg t = \frac{-0.6}{0.8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4}$$

Найдем $\ctg t$:

Котангенс угла $t$ равен обратному значению тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = -\frac{3}{4}$:

$$\ctg t = -\frac{4}{3}$$

Ответ для пункта в):

$$\cos t = 0.8, \, \tg t = -\frac{3}{4}, \, \ctg t = -\frac{4}{3}$$

г) $\sin t = -0.28$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ находится в третьей четверти, так как угол $t$ больше $\pi$ и меньше $\frac{3\pi}{2}$. В этой четверти синус и косинус оба отрицательны.

Найдем $\cos t$:

Используем основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\sin t = -0.28$:

$$(-0.28)^2 + \cos^2 t = 1$$ $$0.0784 + \cos^2 t = 1$$

Чтобы найти $\cos^2 t$, вычитаем 0.0784 из обеих сторон:

$$\cos^2 t = 1 — 0.0784 = 0.9216$$

Теперь извлекаем квадратный корень:

$$\mathrm{ }$$$$\mathrm{}$$$$\cos$$$$t = -\sqrt{0.9216} = -0.96$$

Найдем $\tg t$:

Тангенс угла $t$ равен отношению синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = -0.28$ и $\cos t = -0.96$:

$$\tg t = \frac{-0.28}{-0.96} = \frac{7}{24}$$

Найдем $\ctg t$:

Котангенс угла $t$ равен обратному значению тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = \frac{7}{24}$:

$$\ctg t = \frac{24}{7}$$

Ответ для пункта г):

$$\cos t = -0.96, \, \tg t = \frac{7}{24}, \, \ctg t = \frac{24}{7}$$