ГДЗ 10-11 Класс Номер 7.8 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

По заданному значению функции найдите значения остальных тригонометрических функций:

а) $\cos t = 0,8$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

б) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

в) $\cos t = 0,6$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

г) $\cos t = -\frac{24}{25}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$

Найти значения остальных тригонометрических функций:

а) $\cos t = 0,8$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит первой четверти:

$$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{1 — 0,64} = \sqrt{0,36} = 0,6;$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{4}{3};$$

Ответ: $\sin t = 0,6$; $\tg t = \frac{3}{4}$; $\ctg t = \frac{4}{3}$.

б) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти:

$$\sin t = +\sqrt{1 — \cos^2 t} = \sqrt{\frac{169}{169} — \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = -\frac{12}{5};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{5}{12};$$

Ответ: $\sin t = \frac{12}{13}$; $\tg t = -\frac{12}{5}$; $\ctg t = -\frac{5}{12}$.

в) $\cos t = 0,6$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ принадлежит четвертой четверти:

$$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{1 — 0,36} = -\sqrt{0,64} = -0,8;$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = -\frac{3}{4};$$

Ответ: $\sin t = -0,8$; $\tg t = -\frac{4}{3}$; $\ctg t = -\frac{3}{4}$.

г) $\cos t = -\frac{24}{25}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ принадлежит третьей четверти:

$$\sin t = -\sqrt{1 — \cos^2 t} = -\sqrt{\frac{625}{625} — \frac{576}{625}} = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25};$$ $$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t} = \frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} = \frac{7}{25} \cdot \frac{25}{24} = \frac{7}{24};$$ $$\ctg t = \frac{1}{\tg t} = \frac{24}{7};$$

Ответ: $\sin t = -\frac{7}{25}$; $\tg t = \frac{7}{24}$; $\ctg t = \frac{24}{7}$.

а) $\cos t = 0,8$, где $0 < t < \frac{\pi}{2}$;

Точка $t$ находится в первой четверти (так как $0 < t < \frac{\pi}{2}$, и в этой области все тригонометрические функции, такие как синус, косинус и тангенс, положительны).

Шаг 1: Находим $\sin t$ через формулу Пифагора.

Из основного тождества для тригонометрических функций:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставим значение $\cos t = 0,8$:

$$\sin^2 t + (0,8)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + 0,64 = 1$$

Теперь решим это уравнение относительно $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — 0,64 = 0,36$$

Тогда $\sin t = \sqrt{0,36} = 0,6$, так как в первой четверти $\sin t$ положителен.

Ответ: $\sin t = 0,6$.

Шаг 2: Находим $\tg t$ (тангенс).

Тангенс определяется как отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем найденные значения $\sin t = 0,6$ и $\cos t = 0,8$:

$$\tg t = \frac{0,6}{0,8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

Ответ: $\tg t = \frac{3}{4}$.

Шаг 3: Находим $\ctg t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем значение $\tg t = \frac{3}{4}$:

$$\ctg t = \frac{1}{\frac{3}{4}} = \frac{4}{3}$$

Ответ: $\ctg t = \frac{4}{3}$.

Ответ для пункта а:

$$\sin t = 0,6, \quad \tg t = \frac{3}{4}, \quad \ctg t = \frac{4}{3}$$

б) $\cos t = -\frac{5}{13}$, где $\frac{\pi}{2} < t < \pi$;

Точка $t$ принадлежит второй четверти, где косинус отрицателен, а синус положителен.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через формулу Пифагора.

Из тождества Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = -\frac{5}{13}$:

$$\sin^2 t + \left( -\frac{5}{13} \right)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + \frac{25}{169} = 1$$

Теперь решаем относительно $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{25}{169} = \frac{169}{169} — \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$$

Таким образом,

$$\sin t = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$$

В второй четверти синус положителен, поэтому мы выбираем положительное значение.

Ответ: $\sin t = \frac{12}{13}$.

Шаг 2: Находим $\tg t$ (тангенс).

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = \frac{12}{13}$ и $\cos t = -\frac{5}{13}$:

$$\tg t = \frac{\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} = -\frac{12}{13} \cdot \frac{13}{5} = -\frac{12}{5}$$

Ответ: $\tg t = -\frac{12}{5}$.

Шаг 3: Находим $\ctg t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = -\frac{12}{5}$:

$$\ctg t = -\frac{5}{12}$$

Ответ: $\ctg t = -\frac{5}{12}$.

Ответ для пункта б:

$$\sin t = \frac{12}{13}, \quad \tg t = -\frac{12}{5}, \quad \ctg t = -\frac{5}{12}$$

в) $\cos t = 0,6$, где $\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi$;

Точка $t$ находится в четвертой четверти, где косинус положителен, а синус отрицателен.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через формулу Пифагора.

Из тождества Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = 0,6$:

$$\sin^2 t + (0,6)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + 0,36 = 1$$

Решаем относительно $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — 0,36 = 0,64$$

Таким образом,

$$\sin t = \sqrt{0,64} = -0,8$$

В четвертой четверти синус отрицателен, поэтому выбираем отрицательное значение.

Ответ: $\sin t = -0,8$.

Шаг 2: Находим $\tg t$ (тангенс).

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = -0,8$ и $\cos t = 0,6$:

$$\tg t = \frac{-0,8}{0,6} = -\frac{8}{6} = -\frac{4}{3}$$

Ответ: $\tg t = -\frac{4}{3}$.

Шаг 3: Находим $\ctg t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = -\frac{4}{3}$:

$$\ctg t = -\frac{3}{4}$$

Ответ: $\ctg t = -\frac{3}{4}$.

Ответ для пункта в:

$$\sin t = -0,8, \quad \tg t = -\frac{4}{3}, \quad \ctg t = -\frac{3}{4}$$

г) $\cos t = -\frac{24}{25}$, где $\pi < t < \frac{3\pi}{2}$;

Точка $t$ находится в третьей четверти, где косинус и синус оба отрицательны.

Шаг 1: Находим $\sin t$ через формулу Пифагора.

Из тождества Пифагора:

$$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$$

Подставляем $\cos t = -\frac{24}{25}$:

$$\sin^2 t + \left( -\frac{24}{25} \right)^2 = 1$$ $$\sin^2 t + \frac{576}{625} = 1$$

Решаем относительно $\sin^2 t$:

$$\sin^2 t = 1 — \frac{576}{625} = \frac{625}{625} — \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$$

Таким образом,

$$\sin t = -\sqrt{\frac{49}{625}} = -\frac{7}{25}$$

В третьей четверти синус отрицателен, поэтому мы выбираем отрицательное значение.

Ответ: $\sin t = -\frac{7}{25}$.

Шаг 2: Находим $\tg t$ (тангенс).

Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tg t = \frac{\sin t}{\cos t}$$

Подставляем $\sin t = -\frac{7}{25}$ и $\cos t = -\frac{24}{25}$:

$$\tg t = \frac{-\frac{7}{25}}{-\frac{24}{25}} = \frac{7}{25} \cdot \frac{25}{24} = \frac{7}{24}$$

Ответ: $\tg t = \frac{7}{24}$.

Шаг 3: Находим $\ctg t$ (котангенс).

Котангенс — это обратная величина тангенса:

$$\ctg t = \frac{1}{\tg t}$$

Подставляем $\tg t = \frac{7}{24}$:

$$\ctg t = \frac{24}{7}$$

Ответ: $\ctg t = \frac{24}{7}$.

Ответ для пункта г:

$$\sin t = -\frac{7}{25}, \quad \tg t = \frac{7}{24}, \quad \ctg t = \frac{24}{7}$$