ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.16 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Высота треугольника составляет 5 см, а углы, прилегающие к основанию, равны 60 градусов и 45 градусов. Найдите площадь треугольника.

Задача:

В ΔABC известно, что высота BH = 5 см, ∠A = 45°, ∠C = 60°. Найти площадь треугольника ABC.

Решение:

Отобразим условие задачи:

• Высота $BH = 5$ см.
• Углы: $\angle A = 45^\circ$, $\angle C = 60^\circ$.

Радианные меры углов:

$$\angle A = 45^\circ = \frac{\pi \cdot 45^\circ}{180} = \frac{9\pi}{36} = \frac{\pi}{4};$$ $$\angle C = 60^\circ = \frac{\pi \cdot 60^\circ}{180} = \frac{6\pi}{18} = \frac{\pi}{3}.$$

Рассмотрим прямоугольный ΔCBH:

$$\operatorname{ctg} \angle C = \frac{CH}{BH};$$ $$CH = BH \cdot \operatorname{ctg} \angle C = 5 \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \text{ см}.$$

Рассмотрим прямоугольный ΔABH:

$$\operatorname{ctg} \angle A = \frac{AH}{BH};$$ $$AH = BH \cdot \operatorname{ctg} \angle A = 5 \cdot \operatorname{ctg} \frac{\pi}{4} = 5 \cdot 1 = 5 \text{ см}.$$

Длина стороны AC:

$$AC = AH + HC = 5 + \frac{5\sqrt{3}}{3} = \frac{15 + 5\sqrt{3}}{3} = \frac{5(3 + \sqrt{3})}{3} \text{ см}.$$

Площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH = \frac{1}{2} \cdot \frac{5(3 + \sqrt{3})}{3} \cdot 5 = \frac{25(3 + \sqrt{3})}{6} \text{ см}^2.$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{25(3 + \sqrt{3})}{6}}$$

Дан треугольник $\triangle ABC$. На сторону $AC$ из вершины $B$ опущена высота $BH$ (то есть $BH \perp AC$), и известно:

$$BH=5\text{ см},\quad \angle A=45^\circ,\quad \angle C=60^\circ.$$

Найти площадь $S_{ABC}$.

Быстрая проверка геометрии

Сумма углов в треугольнике:

$$\angle B = 180^\circ — \angle A — \angle C = 180^\circ — 45^\circ — 60^\circ = 75^\circ.$$

Все углы острые, значит высота $BH$ действительно падает на внутреннюю точку отрезка $AC$ (то есть $H$ лежит между $A$ и $C$). Это важно: тогда $AC = AH + HC$.

1) Полезные тригонометрические значения

Значения для углов $45^\circ$ и $60^\circ$:

$$\sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\quad \tan 45^\circ=1,\quad \cot 45^\circ=1;$$ $$\sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\quad \cos 60^\circ=\frac{1}{2},\quad \tan 60^\circ=\sqrt3,\quad \cot 60^\circ=\frac{1}{\sqrt3}.$$

Напоминание: $\cot\alpha=\dfrac{1}{\tan\alpha}=\dfrac{\text{прилежащий катет}}{\text{противолежащий катет}}$ в прямоугольном треугольнике при угле $\alpha$.

2) Работа с прямоугольными треугольниками $\triangle ABH$ и $\triangle CBH$

Поскольку $BH\perp AC$, треугольники $ABH$ и $CBH$ — прямоугольные.

2.1) Отрезок $AH$ через $BH$ и $\angle A$

В $\triangle ABH$ угол при $A$ равен $\angle A=45^\circ$. Для этого треугольника:

$$\tan\angle A=\frac{BH}{AH}\quad\Rightarrow\quad AH=\frac{BH}{\tan\angle A}=BH\cdot\cot\angle A.$$

Подставляя значения:

$$AH=5\cdot \cot 45^\circ=5\cdot 1=5\text{ см}.$$

(Тот же результат можно получить как $AH=AB\cdot\cos 45^\circ$, но $AB$ мы пока не знаем — см. проверку ниже.)

2.2) Отрезок $CH$ через $BH$ и $\angle C$

Аналогично в $\triangle CBH$ при вершине $C$ угол $\angle C=60^\circ$. Имеем:

$$\tan\angle C=\frac{BH}{CH}\quad\Rightarrow\quad CH=\frac{BH}{\tan\angle C}=BH\cdot\cot\angle C.$$

Подставляя:

$$CH=5\cdot \cot 60^\circ = 5\cdot \frac{1}{\sqrt3}=\frac{5}{\sqrt3}=\frac{5\sqrt3}{3}\text{ см}.$$

3) Основание $AC$ как сумма проекций

Так как $H$ между $A$ и $C$,

$$AC=AH+HC=5+\frac{5\sqrt3}{3}=\frac{15+5\sqrt3}{3}=\frac{5(3+\sqrt3)}{3}\text{ см}.$$

Замечание (универсальная формула): из пунктов 2.1–2.2 сразу следует

$$AC = BH\big(\cot A+\cot C\big).$$

4) Площадь треугольника

Площадь по «основание × высота / 2» при основании $AC$ и высоте $BH$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot AC\cdot BH.$$

Подставляем найденное $AC$ и $BH=5$:

$$S_{ABC}=\frac12\cdot \frac{5(3+\sqrt3)}{3}\cdot 5 =\frac{25(3+\sqrt3)}{6}\ \text{см}^2.$$

Эквивалентная компактная запись через универсальную формулу:

$$S_{ABC}=\frac12\,BH^2\big(\cot A+\cot C\big) =\frac12\cdot 25\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right) =\frac{25(3+\sqrt3)}{6}\ \text{см}^2.$$

5) Числовая проверка (контроль точности)

Для прикидки переведём в десятичный вид:

$$\sqrt3\approx 1{,}732,\quad 3+\sqrt3\approx 4{,}732,$$ $$S\approx \frac{25\cdot 4{,}732}{6}\approx \frac{118{,}30}{6}\approx 19{,}72\ \text{см}^2.$$

Проверим другим способом — через стороны $AB$ и $BC$:

$$BH=AB\sin A \Rightarrow AB=\frac{BH}{\sin 45^\circ}=\frac{5}{\sqrt2/2}=5\sqrt2,$$ $$BH=BC\sin C \Rightarrow BC=\frac{BH}{\sin 60^\circ}=\frac{5}{\sqrt3/2}=\frac{10}{\sqrt3}.$$

Тогда, зная $\angle B=75^\circ$, площадь по формуле с двумя сторонами и углом между ними:

$$S=\frac12\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 75^\circ.$$

А $\sin 75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$. Подстановка даёт

$$S=\frac12\cdot 5\sqrt2\cdot \frac{10}{\sqrt3}\cdot \frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} =\frac{25}{2}\left(1+\frac{1}{\sqrt3}\right) =\frac{25(3+\sqrt3)}{6},$$

что полностью совпадает с основным ответом.

Итог

$$\boxed{\,S_{ABC}=\dfrac{25(3+\sqrt3)}{6}\ \text{см}^2\,}$$