ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.2 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Переведите из градусной меры в радианную:

а) ${210}^{\circ }$

б) ${150}^{\circ }$

в) ${330}^{\circ }$

г) ${675}^{\circ }$

Перевести из градусной меры в радианную:

а) $210^\circ = \frac{\pi \cdot 210^\circ}{180^\circ} = \frac{21\pi}{18} = \frac{7\pi}{6}$;

б) $150^\circ = \frac{\pi \cdot 150^\circ}{180^\circ} = \frac{15\pi}{18} = \frac{5\pi}{6}$;

в) $330^\circ = \frac{\pi \cdot 330^\circ}{180^\circ} = \frac{33\pi}{18} = \frac{11\pi}{6}$;

г) $675^\circ = \frac{\pi \cdot 675^\circ}{180^\circ} = \frac{135\pi}{36} = \frac{15\pi}{4}$

По определению $180^\circ = \pi$ радиан.

Значит $1^\circ = \dfrac{\pi}{180}$ рад.

Чтобы перевести угол $\alpha^\circ$ в радианы, умножаем на $\dfrac{\pi}{180}$:

$$\alpha^\circ \;\; \longrightarrow \;\; \alpha^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\alpha\pi}{180}\;(\text{рад}).$$

а) $210^\circ$

Шаг 1. Применяем формулу.

$$210^\circ=\frac{210\pi}{180}\;(\text{рад}).$$

Шаг 2. Сокращаем дробь $\dfrac{210}{180}$.
Найдём НОД(210, 180) = 30. Делим числитель и знаменатель на 30:

$$\frac{210}{180}=\frac{210\div 30}{180\div 30}=\frac{7}{6}.$$

Итого:

$$210^\circ=\frac{7\pi}{6}\;(\text{рад}).$$

Альтернатива (проверка через разложение):
$210^\circ=180^\circ+30^\circ=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$.

Быстрая числовая проверка:
$\frac{7\pi}{6}\approx \frac{7\cdot 3{,}14159}{6}\approx 3{,}665$ рад — угол чуть больше $\pi$ (т.е. $180^\circ$), что соответствует $210^\circ$.

б) $150^\circ$

Шаг 1. Формула.

$$150^\circ=\frac{150\pi}{180}\;(\text{рад}).$$

Шаг 2. Сокращаем $\dfrac{150}{180}$.
НОД(150, 180) = 30. Сокращаем:

$$\frac{150}{180}=\frac{150\div 30}{180\div 30}=\frac{5}{6}.$$

Итого:

$$150^\circ=\frac{5\pi}{6}\;(\text{рад}).$$

Альтернатива (проверка):
$150^\circ=180^\circ-30^\circ=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$.

Числовая проверка:
$\frac{5\pi}{6}\approx 2{,}618$ рад — меньше $\pi$, во II четверти, как и $150^\circ$.

в) $330^\circ$

Шаг 1. Формула.

$$330^\circ=\frac{330\pi}{180}\;(\text{рад}).$$

Шаг 2. Сокращаем $\dfrac{330}{180}$.
НОД(330, 180) = 30. Сокращаем:

$$\frac{330}{180}=\frac{330\div 30}{180\div 30}=\frac{11}{6}.$$

Итого:

$$330^\circ=\frac{11\pi}{6}\;(\text{рад}).$$

Альтернатива (проверка):
$330^\circ=360^\circ-30^\circ=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{12\pi}{6}-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$.

Числовая проверка:
$\frac{11\pi}{6}\approx 5{,}760$ рад — это чуть меньше $2\pi$ ($\approx 6{,}283$), как и $330^\circ$.

г) $675^\circ$

Вариант 1. Прямой перевод по формуле с последующим сокращением.

Шаг 1. Формула.

$$675^\circ=\frac{675\pi}{180}\;(\text{рад}).$$

Шаг 2. Сокращаем дробь.
Можно по-разному:

• Через НОД 45.
  НОД(675, 180) = 45. Тогда

$$\frac{675}{180}=\frac{675\div 45}{180\div 45}=\frac{15}{4}.$$

Итого:

$$675^\circ=\frac{15\pi}{4}\;(\text{рад}).$$

• Как в исходном тексте (через промежуточную дробь).

$$\frac{675\pi}{180}=\frac{135\pi}{36}=\frac{15\pi}{4}\quad \text{(делим числитель и знаменатель на 9)}.$$

Вариант 2. Проверка через сонаправленный (котерминальный) угол.
Вычтем полный оборот $360^\circ$:

$$675^\circ=360^\circ+315^\circ.$$

Тогда

$$675^\circ=2\pi + 315^\circ.$$

А $315^\circ=360^\circ-45^\circ=2\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}-\frac{\pi}{4}=\frac{7\pi}{4}$.
Значит

$$675^\circ=2\pi+\frac{7\pi}{4}=\frac{8\pi}{4}+\frac{7\pi}{4}=\frac{15\pi}{4}.$$

Числовая проверка:
$\frac{15\pi}{4}\approx \frac{15\cdot 3{,}14159}{4}\approx 11{,}781$ рад.
Это $2\pi$ ($\approx 6{,}283$) плюс ещё $\approx 5{,}498$ рад, что соответствует $315^\circ$ сверх полного круга.

Итоговые ответы:

$$\boxed{210^\circ=\frac{7\pi}{6}},\quad \boxed{150^\circ=\frac{5\pi}{6}},\quad \boxed{330^\circ=\frac{11\pi}{6}},\quad \boxed{675^\circ=\frac{15\pi}{4}}.$$