ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Переведите из радианной меры в градусную:

а) $\frac{3\pi }{4}$

б) $\frac{11\pi }{3}$

в) $\frac{6\pi }{5}$

г) $\frac{46\pi }{9}$

Перевести из радианной меры в градусную:

а) $\frac{3\pi}{4} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{3\pi}{4} \right)^{\circ} = (45 \cdot 3)^{\circ} = 135^{\circ}$;

б) $\frac{11\pi}{3} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{11\pi}{3} \right)^{\circ} = (60 \cdot 11)^{\circ} = 660^{\circ}$;

в) $\frac{6\pi}{5} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{6\pi}{5} \right)^{\circ} = (36 \cdot 6)^{\circ} = 216^{\circ}$;

г) $\frac{46\pi}{9} = \left( \frac{180}{\pi} \cdot \frac{46\pi}{9} \right)^{\circ} = (20 \cdot 46)^{\circ} = 920^{\circ}$

Напоминание базовой идеи:

• По определению, $\pi$ радиан соответствует $180^{\circ}$.
• Значит, чтобы перевести из радиан в градусы, умножаем на «1» в виде коэффициента $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$:

$$\text{градусы} \;=\; \text{радианы}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi}.$$

• При умножении сокращаются $\pi$, остаётся обычная дробь с $180$ в числителе.

a) $\dfrac{3\pi}{4}$ рад

$$\dfrac{3\pi}{4}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi} =\dfrac{3\cancel{\pi}\cdot 180^{\circ}}{4\cancel{\pi}} =\dfrac{3\cdot 180^{\circ}}{4}.$$

Делим $180$ на $4$:

• $180\div 4 = 45$ (поскольку $4\cdot 45 = 180$).

Теперь умножаем $45$ на $3$:

• $45\cdot 3 = (40\cdot 3) + (5\cdot 3) = 120 + 15 = 135$.

Итог:

$$\dfrac{3\pi}{4} = 135^{\circ}.$$

б) $\dfrac{11\pi}{3}$ рад

$$\dfrac{11\pi}{3}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi} =\dfrac{11\cancel{\pi}\cdot 180^{\circ}}{3\cancel{\pi}} =\dfrac{11\cdot 180^{\circ}}{3}.$$

Сначала делим $180$ на $3$:

• $180\div 3=60$ (поскольку $3\cdot 60=180$).

Теперь умножаем $11$ на $60$:

• $11\cdot 60 = (10\cdot 60) + (1\cdot 60) = 600 + 60 = 660$.

Итог:

$$\dfrac{11\pi}{3} = 660^{\circ}.$$

в) $\dfrac{6\pi}{5}$ рад

$$\dfrac{6\pi}{5}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi} =\dfrac{6\cancel{\pi}\cdot 180^{\circ}}{5\cancel{\pi}} =\dfrac{6\cdot 180^{\circ}}{5}.$$

Делим $180$ на $5$:

• $180\div 5 = 36$ (так как $5\cdot 36 = 180$).

Теперь умножаем $36$ на $6$:

• $36\cdot 6 = (30\cdot 6) + (6\cdot 6) = 180 + 36 = 216$.

Итог:

$$\dfrac{6\pi}{5} = 216^{\circ}.$$

г) $\dfrac{46\pi}{9}$ рад

$$\dfrac{46\pi}{9}\times\dfrac{180^{\circ}}{\pi} =\dfrac{46\cancel{\pi}\cdot 180^{\circ}}{9\cancel{\pi}} =\dfrac{46\cdot 180^{\circ}}{9}.$$

Делим $180$ на $9$:

• $180\div 9 = 20$ (так как $9\cdot 20 = 180$).

Теперь умножаем $46$ на $20$:

• $46\cdot 20 = (40\cdot 20) + (6\cdot 20) = 800 + 120 = 920$.

Итог:

$$\dfrac{46\pi}{9} = 920^{\circ}.$$

Мини-вывод

Алгоритм всегда один:

1. умножаем на $\dfrac{180^{\circ}}{\pi}$;
2. сокращаем $\pi$;
3. по возможности делим $180$ на знаменатель;
4. умножаем оставшиеся целые числа.

Получили:

$$135^{\circ},\quad 660^{\circ},\quad 216^{\circ},\quad 920^{\circ}.$$