ГДЗ 10-11 Класс Номер 8.9 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Расположите в порядке возрастания числа:

$$\sin {20}^{\circ };\sin {110}^{\circ };\sin {210}^{\circ };\sin {400}^{\circ }$$

Расположить числа в порядке возрастания:

$$\sin 20^\circ; \sin 110^\circ; \sin 210^\circ; \sin 400^\circ;$$

Третье число лежит в III четверти:

$$\sin 210^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 210^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{7\pi}{6};$$ $$\sin t < 0;$$

Остальные числа лежат в I и II четвертях:

$$\sin 20^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 20^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{\pi}{9};$$ $$\sin 110^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 110^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{11\pi}{18};$$ $$\sin 400^\circ = \sin \frac{\pi \cdot 400^\circ}{180^\circ} = \sin \frac{20\pi}{9};$$ $$\sin t > 0;$$

Расстояние до точек максимума:

$$y_1 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{9} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{2\pi}{18} \right| = \frac{7\pi}{18};$$ $$y_2 = \left| \frac{\pi}{2} — \frac{11\pi}{18} \right| = \left| \frac{9\pi}{18} — \frac{11\pi}{18} \right| = \frac{2\pi}{18};$$ $$y_4 = \left| \frac{5\pi}{2} — \frac{20\pi}{9} \right| = \left| \frac{45\pi}{18} — \frac{40\pi}{18} \right| = \frac{5\pi}{18};$$

Ответ: $\sin 210^\circ; \sin 20^\circ; \sin 400^\circ; \sin 110^\circ$.

1) Нормализация углов и четверти

Используем стандартные свойства синуса:

• Периодичность: $\sin(\alpha+360^\circ k)=\sin\alpha$, $k\in\mathbb{Z}$.
• Симметрии:
  • $\sin(180^\circ-\alpha)=\sin\alpha$ (ось симметрии $90^\circ$);
  • $\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha$ (чётверть меняется, знак — тоже).

Применим их к каждому аргументу:

1. $\sin 20^\circ$.
   Угол $20^\circ$ — I четверть. Знак $+$.
2. $\sin 110^\circ$.
   Угол $110^\circ=180^\circ-70^\circ$ — II четверть.
   $\sin110^\circ=\sin(180^\circ-70^\circ)=\sin70^\circ$. Знак $+$.
3. $\sin 210^\circ$.
   Угол $210^\circ=180^\circ+30^\circ$ — III четверть.
   $\sin210^\circ=\sin(180^\circ+30^\circ)=-\sin30^\circ=-\tfrac12$. Знак $−$.
4. $\sin 400^\circ$.
   Сначала уберём полный оборот: $400^\circ-360^\circ=40^\circ$.
   $\sin400^\circ=\sin40^\circ$. Угол $40^\circ$ — I четверть. Знак $+$.

Итог после приведения:

$$\sin20^\circ,\quad \sin110^\circ=\sin70^\circ,\quad \sin210^\circ=-\tfrac12,\quad \sin400^\circ=\sin40^\circ.$$

2) Моментальный вывод о самом маленьком

Единственное отрицательное значение — $\boldsymbol{\sin210^\circ=-\tfrac12}$.
Следовательно, оно точно минимальное среди всех четырёх:

$$\sin210^\circ\ \text{— наименьшее}.$$

3) Сравнение трёх положительных значений

Осталось упорядочить

$$\sin20^\circ,\quad \sin40^\circ,\quad \sin70^\circ.$$

Ключевой факт: на отрезке $[0^\circ,90^\circ]$ функция $\sin x$ строго возрастает.
Обоснование (на выбор):

• Аналитически: $(\sin x)’=\cos x>0$ при $x\in(0^\circ,90^\circ)$.
• Геометрически: ордината точки на единичной окружности растёт при движении от $0^\circ$ к $90^\circ$.

Так как $20^\circ<40^\circ<70^\circ$ и все три угла лежат в $[0^\circ,90^\circ]$, имеем

$$\sin20^\circ<\sin40^\circ<\sin70^\circ.$$

А значит

$$\sin20^\circ<\sin400^\circ<\sin110^\circ.$$

4) Итоговое упорядочивание

Собираем всё вместе: сначала отрицательное, затем три положительных в найденном порядке:

$$\boxed{\ \sin210^\circ\;<\;\sin20^\circ\;<\;\sin400^\circ\;<\;\sin110^\circ\ }.$$

5) Альтернативная проверка через «расстояние до максимумов»

Синус достигает максимума $1$ при углах вида $90^\circ+360^\circ k$. Чем ближе аргумент (по модулю) к ближайшему такому максимуму, тем больше значение синуса (при положительном знаке).

• Для $20^\circ$: ближайший максимум — $90^\circ$. Расстояние $90^\circ-20^\circ=70^\circ$.
• Для $110^\circ$: используем симметрию II четверти — это «зеркало» $70^\circ$ относительно $90^\circ$. Расстояние $|110^\circ-90^\circ|=20^\circ$.
• Для $400^\circ\equiv40^\circ$: ближайший максимум — $90^\circ$. Расстояние $90^\circ-40^\circ=50^\circ$.

Сравнивая расстояния: $20^\circ<50^\circ<70^\circ$, получаем

$$\sin110^\circ>\sin400^\circ>\sin20^\circ,$$

что совпадает с пунктом 3. А $\sin210^\circ<0$ — минимален.

6) Числовая проверка 

(оценки не являются доказательством, но подтверждают порядок)

$$\sin {20}^{\circ }\approx \mathrm{0,3420},\sin {40}^{\circ }\approx \mathrm{0,6428},$$

$$\sin20^\circ\approx0{,}3420,\quad \sin40^\circ\approx0{,}6428,\quad \sin70^\circ\approx0{,}9397,\quad \sin210^\circ=-0{,}5.$$

Отсюда снова:

$$-0{,}5\;<\;0{,}3420\;<\;0{,}6428\;<\;0{,}9397.$$

Ответ: $\boxed{\sin210^\circ;\ \sin20^\circ;\ \sin400^\circ;\ \sin110^\circ}$.