ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.1 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\sin (\frac{\pi }{2}-t)$

б) $\cos (2\pi -t)$

в) $\cos (\frac{3\pi }{2}+t)$

г) $\sin (\pi +t)$

Упростить выражения:

а) $\sin\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = \cos t$;

б) $\cos(2\pi — t) = \cos t$;

в) $\cos\left(\frac{3\pi}{2} + t\right) = \sin t$;

г) $\sin(\pi + t) = -\sin t$.

а) $\;\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-t\right)=\cos t$

Способ 1: по формуле синуса разности

Базовая формула:

$$\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Берём $\alpha=\tfrac{\pi}{2}$, $\beta=t$. Тогда

$$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\sin\tfrac{\pi}{2}\cdot\cos t-\cos\tfrac{\pi}{2}\cdot\sin t.$$

Значения:
$\sin\tfrac{\pi}{2}=1,\;\cos\tfrac{\pi}{2}=0.$
Подставляем:

$$\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=1\cdot\cos t-0\cdot\sin t=\cos t.$$

Готово.

Способ 2: через «кофункции» (геометрический смысл)

На единичной окружности поворот на $\tfrac{\pi}{2}$ (90°) меняет катеты местами: синус угла — это косинус его дополнительного $(\tfrac{\pi}{2}-\theta)$. Отсюда сразу
$\sin(\tfrac{\pi}{2}-t)=\cos t$ для любого $t$.

Быстрая проверка числом

Пусть $t=\tfrac{\pi}{6}$ (30°). Тогда слева:
$\sin(90°-30°)=\sin 60°=\tfrac{\sqrt3}{2}$.
Справа: $\cos 30°=\tfrac{\sqrt3}{2}$. Совпало.

б) $\;\cos(2\pi-t)=\cos t$

Способ 1: по формуле косинуса разности

Формула:

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta.$$

Берём $\alpha=2\pi$, $\beta=t$:

$$\cos(2\pi-t)=\cos 2\pi\cdot\cos t+\sin 2\pi\cdot\sin t.$$

Значения: $\cos 2\pi=1,\;\sin 2\pi=0$.
Итак,

$$\cos(2\pi-t)=1\cdot\cos t+0\cdot\sin t=\cos t.$$

Способ 2: чётность и периодичность

$$\cos(2\pi-t)=\cos\!\big(-(t-2\pi)\big)=\cos(t-2\pi)\quad(\text{чётность косинуса}).$$

Далее период $2\pi$:
$\cos(t-2\pi)=\cos t$.
Итого: $\cos(2\pi-t)=\cos t$.

Быстрая проверка числом

$t=\tfrac{\pi}{3}$: $\cos(360°-60°)=\cos 300°=\tfrac12$.
И $\cos 60°=\tfrac12$. Совпадает.

в) $\;\cos\!\left(\dfrac{3\pi}{2}+t\right)=\sin t$

Способ 1: по формуле косинуса суммы

Формула:

$$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta.$$

Берём $\alpha=\tfrac{3\pi}{2}$, $\beta=t$.
Табличные значения:
$\cos\tfrac{3\pi}{2}=0,\;\sin\tfrac{3\pi}{2}=-1.$
Тогда

$$\cos\!\left(\tfrac{3\pi}{2}+t\right)=0\cdot\cos t-(-1)\cdot\sin t=\sin t.$$

Способ 2: сдвиг на 270° на окружности

Поворот на $\tfrac{3\pi}{2}$ (270°) «меняет роли» синуса и косинуса с учётом знаков: точка $(\cos t,\sin t)$ после такого сдвига по координате $x$ даёт именно $\sin t$. Поэтому $\cos(\tfrac{3\pi}{2}+t)=\sin t$.

Быстрая проверка числом

$t=\tfrac{\pi}{6}$: слева $\cos(270°+30°)=\cos 300°=\tfrac12$.
Справа $\sin 30°=\tfrac12$. Ок.

г) $\;\sin(\pi+t)=-\sin t$

Способ 1: по формуле синуса суммы

Формула:

$$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta.$$

Берём $\alpha=\pi$, $\beta=t$.
Значения: $\sin\pi=0,\;\cos\pi=-1.$
Подставляем:

$$\sin(\pi+t)=0\cdot\cos t+(-1)\cdot\sin t=-\sin t.$$

Способ 2: симметрия относительно начала координат

Угол $\pi+t$ — это полуповорот от $t$: точка на окружности переходит в противоположную $(-\cos t,-\sin t)$. Тогда синус (вторая координата) меняет знак:
$\sin(\pi+t)=-\sin t$.

Быстрая проверка числом

$t=\tfrac{\pi}{4}$: $\sin(180°+45°)=\sin 225°=-\tfrac{\sqrt2}{2}$.
И $-\sin 45°=-\tfrac{\sqrt2}{2}$. Совпадает.