ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.12 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $2 \cos(2\pi + t) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$;

б) $\sin(\pi + t) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$;

в) $2 \sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = -\frac{1}{2}$;

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(2\pi + t) = 1$

Решить уравнение:

а) $2 \cos(2\pi + t) + \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$;

$2 \cos t + \cos t = 3$;

$3 \cos t = 3$;

$\cos t = 1$;

$t = 2\pi n$;

Ответ: $2\pi n$.

б) $\sin(\pi + t) + 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} + t\right) = 3$;

$-\sin t — 2 \sin t = 3$;

$-3 \sin t = 3$;

$\sin t = -1$;

$t = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

в) $2 \sin(\pi + t) + \cos\left(\frac{\pi}{2} — t\right) = -\frac{1}{2}$;

$-2 \sin t + \sin t = -\frac{1}{2}$;

$-\sin t = -\frac{1}{2}$;

$\sin t = \frac{1}{2}$;

$t_1 = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n$; $\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

г) $3 \sin\left(\frac{\pi}{2} + t\right) — \cos(2\pi + t) = 1$;

$3 \cos t — \cos t = 1$;

$2 \cos t = 1$;

$\cos t = \frac{1}{2}$;

$t_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$; $t_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$;

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Полезные тождества

Периодичность:

• $\cos(x+2\pi)=\cos x$, $\sin(x+2\pi)=\sin x$.

Сдвиг на $\pi$:

• $\sin(x+\pi)=\sin x\cos\pi+\cos x\sin\pi=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x$.
• $\cos(x+\pi)=\cos x\cos\pi-\sin x\sin\pi=\cos x\cdot(-1)-\sin x\cdot0=-\cos x$.

Сдвиг на $\tfrac{\pi}{2}$ (из формул сложения):

• $\sin\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\sin x\cos\tfrac{\pi}{2}+\cos x\sin\tfrac{\pi}{2}=0+\cos x\cdot1=\cos x$.
• $\cos\!\left(x+\tfrac{\pi}{2}\right)=\cos x\cos\tfrac{\pi}{2}-\sin x\sin\tfrac{\pi}{2}=0-\sin x\cdot1=-\sin x$.

Формула разности для косинуса:

• $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos\tfrac{\pi}{2}\cos x+\sin\tfrac{\pi}{2}\sin x=0+\sin x=\sin x$.

Ниже будем опираться именно на них.

а) $2\cos(2\pi+t)+\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=3$

Шаг 1. Упростим аргументы:

• $\cos(2\pi+t)=\cos t$ (период $2\pi$).
• $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\cos t$ (сдвиг на $\tfrac{\pi}{2}$).

Шаг 2. Подставим:

$$2\cos t+\cos t=3 \;\;\Longrightarrow\;\; 3\cos t=3.$$

Шаг 3. Решим:

$$\cos t=1.$$

Шаг 4. Общий вид решений $\cos t=1$:
это точки $t=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$ (косинус равен 1 на углах, кратных полному обороту).

Ответ: $t=2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$.

б) $\sin(\pi+t)+2\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=3$

Шаг 1. Упростим:

• $\sin(\pi+t)=-\sin t$ (сдвиг на $\pi$).
• $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=-\sin t$ (сдвиг на $\tfrac{\pi}{2}$).

Шаг 2. Подставим:

$$(-\sin t)+2(-\sin t)=3 \;\;\Longrightarrow\;\; -3\sin t=3.$$

Шаг 3. Решим:

$$\sin t=-1.$$

Шаг 4. Общий вид решений $\sin t=-1$:
синус достигает $-1$ в точках $t=\tfrac{3\pi}{2}+2\pi n$, что эквивалентно $t=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n$, $n\in\mathbb{Z}$.

Ответ: $t=-\tfrac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$.

в) $2\sin(\pi+t)+\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=-\tfrac{1}{2}$

Шаг 1. Упростим:

• $\sin(\pi+t)=-\sin t$.
• $\cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-t\right)=\sin t$.

Шаг 2. Подставим:

$$2(-\sin t)+(\sin t)=-\tfrac{1}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; -\sin t=-\tfrac{1}{2}.$$

Шаг 3. Решим:

$$\sin t=\tfrac{1}{2}.$$

Шаг 4. Общий вид решений $\sin t=\tfrac{1}{2}$:
базовый острый угол $\alpha=\arcsin\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{6}$.
Для синуса решения в $[0,2\pi)$: $t=\tfrac{\pi}{6}$ и $t=\pi-\tfrac{\pi}{6}=\tfrac{5\pi}{6}$.
Общий вид:

$$t=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n \quad\text{или}\quad t=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\;\; n\in\mathbb{Z}.$$

Ответ: $t=\tfrac{\pi}{6}+2\pi n$ или $t=\tfrac{5\pi}{6}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$.

г) $3\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)-\cos(2\pi+t)=1$

Шаг 1. Упростим:

• $\sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}+t\right)=\cos t$.
• $\cos(2\pi+t)=\cos t$.

Шаг 2. Подставим:

$$3\cos t-\cos t=1 \;\;\Longrightarrow\;\; 2\cos t=1.$$

Шаг 3. Решим:

$$\cos t=\tfrac{1}{2}.$$

Шаг 4. Общий вид решений $\cos t=\tfrac{1}{2}$:
этот косинус достигается при опорном угле $\beta=\arccos\tfrac{1}{2}=\tfrac{\pi}{3}$.
Для косинуса решения: $t=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$.

Ответ: $t=\pm\tfrac{\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb{Z}$.