ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.3 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Упростите выражение:

а) $\cos ({90}^{\circ }-a)$

б) $\sin ({360}^{\circ }-a)$

в) $\sin ({270}^{\circ }-a)$

г) $\cos ({180}^{\circ }-a)$

Упростить выражение:

а) $\cos(90^\circ — a) = \sin a$;

б) $\sin(360^\circ — a) = -\sin a$;

в) $\sin(270^\circ — a) = -\cos a$;

г) $\cos(180^\circ — a) = -\cos a$

Используем формулы приведения и формулы суммы/разности:

$$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta ,$$

$$\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,\qquad \sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta.$$

Точные значения: $\sin {90}^{\circ }=1,\cos {90}^{\circ }=0;\sin {180}^{\circ }=0,\cos {180}^{\circ }=-1;$

$\sin 90^\circ=1,\ \cos 90^\circ=0;\ \sin 180^\circ=0,\ \cos 180^\circ=-1;\ \sin 270^\circ=-1,\ \cos 270^\circ=0;\ \sin 360^\circ=0,\ \cos 360^\circ=1.$

а) $\cos(90^\circ-a)$

Применим формулу косинуса разности:

$$\cos(90^\circ-a)=\cos 90^\circ\cos a+\sin 90^\circ\sin a.$$

Подставим значения: $\cos 90^\circ=0,\ \sin 90^\circ=1$:

$$\cos(90^\circ-a)=0\cdot\cos a+1\cdot\sin a=\sin a.$$

Ответ: $\cos(90^\circ-a)=\sin a$.

б) $\sin(360^\circ-a)$

Применим формулу синуса разности:

$$\sin(360^\circ-a)=\sin 360^\circ\cos a-\cos 360^\circ\sin a.$$

Подставим значения: $\sin 360^\circ=0,\ \cos 360^\circ=1$:

$$\sin(360^\circ-a)=0\cdot\cos a-1\cdot\sin a=-\sin a.$$

Ответ: $\sin(360^\circ-a)=-\sin a$.

в) $\sin(270^\circ-a)$

Применим формулу синуса разности:

$$\sin(270^\circ-a)=\sin 270^\circ\cos a-\cos 270^\circ\sin a.$$

Подставим значения: $\sin 270^\circ=-1,\ \cos 270^\circ=0$:

$$\sin(270^\circ-a)=(-1)\cdot\cos a-0\cdot\sin a=-\cos a.$$

Ответ: $\sin(270^\circ-a)=-\cos a$.

г) $\cos(180^\circ-a)$

Применим формулу косинуса разности:

$$\cos(180^\circ-a)=\cos 180^\circ\cos a+\sin 180^\circ\sin a.$$

Подставим значения: $\cos 180^\circ=-1,\ \sin 180^\circ=0$:

$$\cos(180^\circ-a)=(-1)\cdot\cos a+0\cdot\sin a=-\cos a.$$

Ответ: $\cos(180^\circ-a)=-\cos a$.