ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.5 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите с помощью формул приведения:

а) $\sin {240}^{\circ }$

б) $\mathrm{tg}{300}^{\circ }$

в) $\cos {330}^{\circ }$

г) $\mathrm{ctg}{315}^{\circ }$

Вычислить с помощью формул приведения:

а) $\sin {240}^{\circ }=\sin ({270}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\cos {30}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) $\mathrm{tg}{300}^{\circ }=\mathrm{tg}({360}^{\circ }-{60}^{\circ })=-\mathrm{tg}{60}^{\circ }=-\sqrt{3}$;
Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) $\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$;
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

г) $\mathrm{ctg}{315}^{\circ }=\mathrm{ctg}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\mathrm{ctg}{45}^{\circ }=-1$;
Ответ: $-1$.

Полезные факты:

$\sin ({360}^{\circ }-\alpha )=-\sin \alpha ,\cos ({360}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha ,\mathrm{}$

$\mathrm{tg}({360}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha ,\mathrm{ctg}({360}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha \mathrm{.}$

$\sin ({270}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ (следует из $\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ при $\alpha ={270}^{\circ }$).

Точные значения: $\sin {30}^{\circ }=\frac{1}{2},\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2},\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3},\mathrm{ctg}{45}^{\circ }=1.$

а) $\sin {240}^{\circ }$

Представим угол в виде разности от ${270}^{\circ }$:

$${240}^{\circ }={270}^{\circ }-{30}^{\circ }\Rightarrow \sin {240}^{\circ }=\sin ({270}^{\circ }-{30}^{\circ })\mathrm{.}$$

Применим формулу приведения:

$$\sin ({270}^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha \Rightarrow \sin ({270}^{\circ }-{30}^{\circ })=-\cos {30}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставим точное значение $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\sin {240}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

(Знак минус согласуется с тем, что ${240}^{\circ }$ — III четверть, где синус отрицателен.)

Ответ: $-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

б) $\mathrm{tg}{300}^{\circ }$

Представим угол как ${360}^{\circ }-{60}^{\circ }$:

$$\mathrm{tg}{300}^{\circ }=\mathrm{tg}({360}^{\circ }-{60}^{\circ })\mathrm{.}$$

Применим формулу приведения для тангенса:

$$\mathrm{tg}({360}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{tg}\alpha \Rightarrow \mathrm{tg}({360}^{\circ }-{60}^{\circ })=-\mathrm{tg}{60}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставим $\mathrm{tg}{60}^{\circ }=\sqrt{3}$:

$$\mathrm{tg}{300}^{\circ }=-\sqrt{3}\mathrm{.}$$

(Знак минус верен, т.к. ${300}^{\circ }$ — IV четверть, где тангенс отрицателен.)

Ответ: $-\sqrt{3}$.

в) $\cos {330}^{\circ }$

Представим угол как ${360}^{\circ }-{30}^{\circ }$:

$$\cos {330}^{\circ }=\cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })\mathrm{.}$$

Применим формулу приведения для косинуса:

$$\cos ({360}^{\circ }-\alpha )=\cos \alpha \Rightarrow \cos ({360}^{\circ }-{30}^{\circ })=\cos {30}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставим $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$:

$$\cos {330}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{.}$$

(Положительный знак согласуется с IV четвертью, где косинус положителен.)

Ответ: ${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

г) $\mathrm{ctg}{315}^{\circ }$

Представим угол как ${360}^{\circ }-{45}^{\circ }$:

$$\mathrm{ctg}{315}^{\circ }=\mathrm{ctg}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })\mathrm{.}$$

Применим формулу приведения для котангенса:

$$\mathrm{ctg}({360}^{\circ }-\alpha )=-\mathrm{ctg}\alpha \Rightarrow \mathrm{ctg}({360}^{\circ }-{45}^{\circ })=-\mathrm{ctg}{45}^{\circ }\mathrm{.}$$

Подставим $\mathrm{ctg}{45}^{\circ }=1$:

$$\mathrm{ctg}{315}^{\circ }=-1.$$

(В IV четверти котангенс отрицателен — знак согласуется.)

Ответ: $-1$.