ГДЗ 10-11 Класс Номер 9.6 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Вычислите с помощью формул приведения:

а) $\cos \frac{5\pi }{3}$

б) $\sin (-\frac{11\pi }{6})$

в) $\sin \frac{7\pi }{6}$

г) $\cos (-\frac{7\pi }{3})$

Вычислить с помощью формул приведения:

а) $\cos \frac{5\pi}{3} = \cos \left(2\pi — \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

б) $\sin \left(-\frac{11\pi}{6}\right) = \sin \left(2\pi — \frac{11\pi}{6}\right) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

в) $\sin \frac{7\pi}{6} = \sin \left(\pi + \frac{\pi}{6}\right) = -\sin \frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$;
Ответ: $-\frac{1}{2}$.

г) $\cos \left(-\frac{7\pi}{3}\right) = \cos \frac{7\pi}{3} = \cos \left(2\pi + \frac{\pi}{3}\right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$;
Ответ: $\frac{1}{2}$.

Пользуемся определениями, периодичностью $(2\pi)$, чётностью/нечётностью и формулами суммы/разности:

$$\begin{aligned} &\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta,\\ &\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta,\\ &\cos(\theta+2\pi k)=\cos\theta,\quad \sin(\theta+2\pi k)=\sin\theta,\\ &\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha,\\ &\cos(-\alpha)=\cos\alpha,\quad \sin(-\alpha)=-\sin\alpha. \end{aligned}$$

Точные значения: $\cos\frac{\pi}{3}=\tfrac12,\ \sin\frac{\pi}{6}=\tfrac12$.

а) $\displaystyle \cos\frac{5\pi}{3}$

Представим угол как разность с $2\pi$:

$$\cos\frac{5\pi}{3}=\cos\!\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right).$$

Применим формулу $\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha$ (или разность: $\cos(2\pi-\alpha)=\cos2\pi\cos\alpha+\sin2\pi\sin\alpha=1\cdot\cos\alpha+0=\cos\alpha$):

$$\cos\!\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}.$$

Подставим точное значение:

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

Ответ: $\frac12$.

б) $\displaystyle \sin\!\left(-\frac{11\pi}{6}\right)$

Есть два равноправных пути.

Путь 1 (периодичность):

Прибавим $2\pi$ (синус $2\pi$-периодичен):

$$\sin\!\left(-\frac{11\pi}{6}\right)=\sin\!\left(-\frac{11\pi}{6}+2\pi\right)=\sin\!\left(\frac{\pi}{6}\right).$$

Подставим значение:

$$\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Путь 2 (нечётность + формула $2\pi-\alpha$):

$$\sin\!\left(-\frac{11\pi}{6}\right)=-\sin\!\left(\frac{11\pi}{6}\right) =-\sin\!\left(2\pi-\frac{\pi}{6}\right) =-\bigl(-\sin\frac{\pi}{6}\bigr)=\sin\frac{\pi}{6}=\frac12.$$

Ответ: $\frac12$.

в) $\displaystyle \sin\frac{7\pi}{6}$

Представим угол как $\pi+\frac{\pi}{6}$:

$$\sin\frac{7\pi}{6}=\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right).$$

Применим формулу $\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha$ (или из суммы: $\sin(\pi+\alpha)=\sin\pi\cos\alpha+\cos\pi\sin\alpha=0\cdot\cos\alpha+(-1)\sin\alpha$):

$$\sin\!\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\sin\frac{\pi}{6}.$$

Подставим значение:

$$-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac12.$$

Ответ: $-\frac12$.

г) $\displaystyle \cos\!\left(-\frac{7\pi}{3}\right)$

Используем чётность косинуса:

$$\cos\!\left(-\frac{7\pi}{3}\right)=\cos\!\left(\frac{7\pi}{3}\right).$$

Уберём полный оборот $2\pi$ (периодичность):

$$\cos\!\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\cos\!\left(2\pi+\frac{\pi}{3}\right)=\cos\frac{\pi}{3}.$$

(Также можно через формулу суммы: $\cos(2π+α)=\cos2π\cosα-\sin2π\sinα=1\cdot\cosα-0=\cosα$.)
3) Подставим значение:

$$\cos\frac{\pi}{3}=\frac12.$$

Ответ: $\frac12$.