ГДЗ 10-11 Класс Номер 13.14 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции у = $\cos \frac{x}{3}$:

а) На луче $[0; +\infty)$;

б) На открытом луче $(-∞; \pi)$;

в) На луче $\left(-∞; \frac{\pi}{2}\right]$;

г) На открытом луче $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$

а) На луче $[0; +\infty)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

б) На открытом луче $(-∞; \pi)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

в) На луче $\left(-∞; \frac{\pi}{2}\right]$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

г) На открытом луче $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$;

Полный период функции: $T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$;

В промежуток входит полный период функции:

$$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1;$$

Ответ: $y_{\text{наим}} = -1$; $y_{\text{наиб}} = 1$.

Найти наименьшее и наибольшее значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

Для поиска наименьшего и наибольшего значений функции на различных промежутках необходимо учитывать особенности графика косинуса, а также влияние преобразования $\frac{x}{3}$, которое влияет на период функции. Рассмотрим каждый случай по отдельности и объясним каждый шаг.

а) На луче $[0; +\infty)$

1. Полный период функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Стандартная косинусоида $y = \cos x$ имеет период $2\pi$.
• В функции $y = \cos \frac{x}{3}$ аргумент $x$ изменяется на $\frac{x}{3}$, что растягивает график по оси $x$.
• Новый период $T$ функции $y = \cos \frac{x}{3}$ будет:

  $$T = 2\pi \cdot 3 = 6\pi$$

  То есть график будет совершать один полный цикл за $6\pi$ единиц.

2. Значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Косинус изменяется в пределах от $-1$ до $1$ для любого значения $x$, независимо от масштаба или сжатия. Это свойство сохраняется при изменении аргумента функции. Таким образом:

  $$-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1$$

• На любом интервале, который включает хотя бы один полный период функции, наибольшее значение будет $1$, а наименьшее $-1$.

3. Ответ:

• Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$

б) На открытом луче $(-∞; \pi)$

1. Полный период функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равен $6\pi$, как мы уже установили. На интервале $(-\infty; \pi)$ входит только часть полного периода, поскольку:

  $$\frac{\pi}{6} < 1 \quad \text{и} \quad \pi < 6\pi$$

• Тем не менее, на этом интервале функция по-прежнему изменяется от $-1$ до $1$, так как период $6\pi$ ещё не завершён.

2. Значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Косинус изменяется в пределах $-1 \leq \cos \frac{x}{3} \leq 1$ на всем промежутке $(-\infty; \pi)$, и мы не должны ожидать изменения этих значений в силу преобразования $\frac{x}{3}$.

3. Ответ:

• Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$

в) На луче $\left(-∞; \frac{\pi}{2}\right]$

1. Полный период функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равен $6\pi$, и на интервале $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right]$ также содержится лишь часть цикла функции. Однако все значения косинуса на этом промежутке будут лежать в пределах от $-1$ до $1$.

2. Значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• На данном интервале $\left(-\infty; \frac{\pi}{2}\right]$ функция $y = \cos \frac{x}{3}$ будет изменяться в пределах от $-1$ до $1$, и за время этого промежутка функция не достигнет крайних значений за период.

3. Ответ:

• Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$

г) На открытом луче $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$

1. Полный период функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Период функции $y = \cos \frac{x}{3}$ равен $6\pi$. Интервал $\left(\frac{\pi}{3}; +\infty\right)$ будет включать несколько полных периодов функции.

2. Значения функции $y = \cos \frac{x}{3}$:

• Функция $y = \cos \frac{x}{3}$ на этом интервале будет продолжать изменяться между значениями $-1$ и $1$, совершая несколько полных циклов.

3. Ответ:

• Наименьшее значение $y_{\text{наим}} = -1$
• Наибольшее значение $y_{\text{наиб}} = 1$