ГДЗ 10-11 Класс Номер 16.10 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Решите уравнение:

а) $\sin t = \frac{1}{4}$;

б) $\sin t = 1.02 > 1$;

в) $\sin t = -\frac{1}{7}$;

г) $\sin t = \frac{\pi}{3} > 1$

Решить уравнение:

а) $\sin t = \frac{1}{4}$;
$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$.

б) $\sin t = 1.02 > 1$;
Ответ: корней нет.

в) $\sin t = -\frac{1}{7}$;
$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n$;
Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n$.

г) $\sin t = \frac{\pi}{3} > 1$;
Ответ: корней нет.

а) $\sin t = \frac{1}{4}$

Пошаговое решение:

Что такое уравнение $\sin t = \frac{1}{4}$?

Мы ищем все значения угла $t$, для которых синус этого угла равен $\frac{1}{4}$.

Поиск основного решения:

Сначала найдем основное решение, которое мы можем получить, используя арксинус:

$$t = \arcsin \frac{1}{4}.$$

Это значение — основной угол, который лежит в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, так как функция $\arcsin x$ определена именно на этом интервале.

Мы можем получить это значение численно (если необходимо), но оно также может быть оставлено в виде $\arcsin \frac{1}{4}$.

Все возможные решения:

Так как синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, то все решения можно записать как:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции синуса.

Ответ:

$$t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n.$$

б) $\sin t = 1.02 > 1$

Пошаговое решение:

Что такое уравнение $\sin t = 1.02$?

Мы ищем значение угла $t$, для которого синус этого угла равен $1.02$.

Проверка значений синуса:

Мы знаем, что функция $\sin t$ имеет диапазон значений от $-1$ до $1$, то есть для любого значения $t$:

$$-1 \leq \sin t \leq 1.$$

Однако, в данном случае, значение $1.02$ больше $1$, что выходит за пределы возможных значений функции синуса.

Вывод:

Поскольку $\sin t = 1.02$ не имеет смысла (выходит за пределы возможных значений функции синуса), у уравнения нет решений.

Ответ:

Корней нет.

в) $\sin t = -\frac{1}{7}$

Пошаговое решение:

Что такое уравнение $\sin t = -\frac{1}{7}$?

Мы ищем все значения угла $t$, для которых синус этого угла равен $-\frac{1}{7}$.

Поиск основного решения:

Мы знаем, что $\sin$ отрицателен в третьей и четвёртой четвертях. Сначала находим основное решение, которое лежит в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, используя арксинус:

$$t = \arcsin \left(-\frac{1}{7}\right).$$

Это значение будет в интервале $[- \frac{\pi}{2}, 0]$, так как синус отрицателен для углов в нижней полуплоскости.

Все возможные решения:

Поскольку синус — периодическая функция с периодом $2\pi$, все возможные решения можно записать как:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n,$$

где $n$ — целое число, отражающее периодичность функции синуса.

Ответ:

$$t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n.$$

г) $\sin t = \frac{\pi}{3} > 1$

Пошаговое решение:

Что такое уравнение $\sin t = \frac{\pi}{3}$?

Мы ищем значение угла $t$, для которого синус этого угла равен $\frac{\pi}{3}$.

Проверка значений синуса:

Мы знаем, что синус функции имеет диапазон значений от $-1$ до $1$. Однако, $\frac{\pi}{3} \approx 1.047$, что больше $1$, то есть значение $\frac{\pi}{3}$ выходит за пределы возможных значений функции синуса.

Вывод:

Поскольку $\frac{\pi}{3} > 1$, у уравнения $\sin t = \frac{\pi}{3}$ нет решений, так как синус не может быть больше $1$.

Ответ:

Корней нет.

Итог:

а) $t = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$

б) Корней нет.

в) $t = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{7} + \pi n$

г) Корней нет.