ГДЗ 10-11 Класс Номер 21.19 Алгебра И Начала Математического Анализа Мордкович — Подробные Ответы

Докажите тождество:

а)

$$\mathrm{ctg}t-\sin 2t=\mathrm{ctg}t\cdot \cos 2t;$$

б)

$$\sin 2t-\mathrm{tg}t=\cos 2t\cdot \mathrm{tg}t$$

Доказать тождество:

а)

$$\ctg\, t — \sin 2t = \ctg\, t \cdot \cos 2t;$$

Преобразуем левую часть равенства:

$$\ctg\, t — \sin 2t = \ctg\, t — 2 \sin t \cdot \cos t = \ctg\, t — 2 \sin^2 t \cdot \frac{\cos t}{\sin t} =$$ $$= \ctg\, t — 2 \sin^2 t \cdot \ctg\, t = \ctg\, t \cdot (1 — 2 \sin^2 t) =$$ $$= \ctg\, t \cdot ((\sin^2 t + \cos^2 t) — 2 \sin^2 t) = \ctg\, t \cdot (\cos^2 t — \sin^2 t) =$$ $$= \ctg\, t \cdot \cos 2t;$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin 2t — \tg\, t = \cos 2t \cdot \tg\, t;$$ $$\sin 2t — \tg\, t = 2 \sin t \cdot \cos t — \tg\, t = 2 \cos^2 t \cdot \frac{\sin t}{\cos t} — \tg\, t =$$ $$= 2 \cos^2 t \cdot \tg\, t — \tg\, t = \tg\, t \cdot (2 \cos^2 t — 1) =$$ $$= \tg\, t \cdot (2 \cos^2 t — (\cos^2 t + \sin^2 t)) = \tg\, t \cdot (\cos^2 t — \sin^2 t) =$$ $$= \tg\, t \cdot \cos 2t;$$

Тождество доказано.

а)

$$\ctg\, t — \sin 2t = \ctg\, t \cdot \cos 2t$$

Шаг 1: Вспоминаем определения

• $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• $\ctg t = \dfrac{\cos t}{\sin t}$
• $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

Начнём с левой части:

$$\ctg\, t — \sin 2t = \dfrac{\cos t}{\sin t} — 2 \sin t \cos t$$

Шаг 3: Приводим всё к общему знаменателю

Общий знаменатель — $\sin t$:

$$\dfrac{\cos t}{\sin t} — 2 \sin t \cos t = \dfrac{\cos t — 2 \sin^2 t \cos t}{\sin t}$$

Вынесем $\cos t$ за скобки в числителе:

$$= \dfrac{\cos t (1 — 2 \sin^2 t)}{\sin t}$$

Шаг 4: Используем тождество

$$1 — 2 \sin^2 t = \cos 2t$$

Значит:

$$= \dfrac{\cos t \cdot \cos 2t}{\sin t}$$

Шаг 5: Узнаём это как $\ctg t \cdot \cos 2t$

$$\dfrac{\cos t}{\sin t} \cdot \cos 2t = \ctg t \cdot \cos 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\ctg\, t — \sin 2t = \ctg\, t \cdot \cos 2t}$$

б)

$$\sin 2t — \tg\, t = \cos 2t \cdot \tg\, t$$

Шаг 1: Формулы

• $\sin 2t = 2 \sin t \cos t$
• $\tg t = \dfrac{\sin t}{\cos t}$
• $\cos 2t = \cos^2 t — \sin^2 t$

Шаг 2: Преобразуем левую часть

$$\sin 2t — \tg t = 2 \sin t \cos t — \dfrac{\sin t}{\cos t}$$

Шаг 3: Приводим к общему знаменателю

Приведём к общему знаменателю $\cos t$:

$$= \dfrac{2 \sin t \cos^2 t — \sin t}{\cos t}$$

Вынесем $\sin t$ в числителе:

$$= \dfrac{\sin t (2 \cos^2 t — 1)}{\cos t}$$

Шаг 4: Узнаём формулу

$$2 \cos^2 t — 1 = \cos 2t \Rightarrow = \dfrac{\sin t \cdot \cos 2t}{\cos t}$$

Шаг 5: Записываем как $\tg t \cdot \cos 2t$

$$\dfrac{\sin t}{\cos t} \cdot \cos 2t = \tg t \cdot \cos 2t$$

Тождество доказано:

$$\boxed{\sin 2t — \tg\, t = \cos 2t \cdot \tg\, t}$$