ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.1 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

а) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2?

б) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3?

в) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6?

г) Сколько существует натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27?

а) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2:

$$a_1=2,d=2\text{ и }{a}_n<100;$$$$a_n=a_1+d(n-1)=2+2(n-1)=2+2n-2=2n;$$$$2n<100,\text{ отсюда }n<50;$$

Ответ: 49 чисел.

б) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3:

$$a_1=3,d=3\text{ и }{a}_n<100;$$$$a_n=a_1+d(n-1)=3+3(n-1)=3+3n-3=3n;$$$$3n<100,\text{ отсюда }n<33\frac{1}{3};$$

Ответ: 33 числа.

в) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6:

$$a_1=6,d=6\text{ и }{a}_n<100;$$$$a_n=a_1+d(n-1)=6+6(n-1)=6+6n-6=6n;$$$$6n<100,\text{ отсюда }n<16\frac{4}{6};$$

Ответ: 16 чисел.

г) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27:

$$a_1=27,d=27\text{ и }{a}_n<100;$$$$a_n=a_1+d(n-1)=27+27(n-1)=27+27n-27=27n;$$$$27n<100,\text{ отсюда }n<3\frac{19}{27};$$

Ответ: 3 числа.

а) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 2:

Рассмотрим все натуральные числа, которые меньше 100 и делятся на 2. Это будет последовательность чисел, которая начинается с 2 и имеет шаг 2:

$$2,4,6,8,10,12,\dots$$

Это — арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=2$ и разность прогрессии $d=2$.

Общий вид $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляем значения для $a_1$ и $d$:

$$a_n=2+(n-1)\cdot 2=2+2n-2=2n$$

Нам нужно найти наибольшее $n$, для которого $a_n<100$, то есть:

$$2n<100$$

Разделим обе стороны неравенства на 2:

$$n<50$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, максимальное значение $n=49$.

Следовательно, количество таких чисел равно 49. Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 49}}$$

б) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 3:

Рассмотрим все натуральные числа, которые меньше 100 и делятся на 3. Это будет последовательность чисел, которая начинается с 3 и имеет шаг 3:

$$3,6,9,12,15,18,\dots$$

Это — арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=3$ и разность прогрессии $d=3$.

Общий вид $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляем значения для $a_1$ и $d$:

$$a_n=3+(n-1)\cdot 3=3+3n-3=3n$$

Нам нужно найти наибольшее $n$, для которого $a_n<100$, то есть:

$$3n<100$$

Разделим обе стороны неравенства на 3:

$$n<\frac{100}{3}=33\frac{1}{3}$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, максимальное значение $n=33$.

Следовательно, количество таких чисел равно 33. Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 33}}$$

в) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 6:

Рассмотрим все натуральные числа, которые меньше 100 и делятся на 6. Это будет последовательность чисел, которая начинается с 6 и имеет шаг 6:

$$6,12,18,24,30,36,\dots$$

Это — арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=6$ и разность прогрессии $d=6$.

Общий вид $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляем значения для $a_1$ и $d$:

$$a_n=6+(n-1)\cdot 6=6+6n-6=6n$$

Нам нужно найти наибольшее $n$, для которого $a_n<100$, то есть:

$$6n<100$$

Разделим обе стороны неравенства на 6:

$$n<\frac{100}{6}=16\frac{4}{6}$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, максимальное значение $n=16$.

Следовательно, количество таких чисел равно 16. Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 16}}$$

г) Количество натуральных чисел, меньших 100 и делящихся на 27:

Рассмотрим все натуральные числа, которые меньше 100 и делятся на 27. Это будет последовательность чисел, которая начинается с 27 и имеет шаг 27:

$$27,54,81,\dots$$

Это — арифметическая прогрессия, в которой первый член $a_1=27$ и разность прогрессии $d=27$.

Общий вид $n$-го члена арифметической прогрессии:

$$a_n=a_1+(n-1)\cdot d$$

Подставляем значения для $a_1$ и $d$:

$$a_n=27+(n-1)\cdot 27=27+27n-27=27n$$

Нам нужно найти наибольшее $n$, для которого $a_n<100$, то есть:

$$27n<100$$

Разделим обе стороны неравенства на 27:

$$n<\frac{100}{27}=3\frac{19}{27}$$

Поскольку $n$ должно быть натуральным числом, максимальное значение $n=3$.

Следовательно, количество таких чисел равно 3. Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle 3}}$$

Итоговые ответы:

а) 49 чисел
б) 33 числа
в) 16 чисел
г) 3 числа