ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.12 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) 723 + 343 делится на 106;

б) (I3 + 23 + 33 +)… + 1813 + 1823) делится на 183

в) 183 + 263 делится на 176;

г) (23 + 33 +)… + 1963 + 1973) делится на 199.

а) Доказать, что число ${72}^3+{34}^3$ делится на 106;

$$\frac{{72}^3+{34}^3}{106}=\frac{(72+34)({72}^2-72\cdot 34+{34}^2)}{72+34}=({72}^2-72\cdot 34+{34}^2)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $(1^3+2^3+\cdots +{182}^3)$ делится на 183;

$$1^3+2^3+\cdots +{182}^3=(1^3+{182}^3)+(2^3+{181}^3)+\cdots +({91}^3+{92}^3)=$$

$$$$$$=(1+182)(1^2-1\cdot 182+{182}^2)+(2+181)(2^2-2\cdot 181+{181}^2)+\cdots +$$

$$$$$$+(91+92)({91}^3-91\cdot 92+{92}^3)=183\cdot (1^2+2^2+\cdots +{182}^2-1\cdot 182-$$

$$$$$$-2\cdot 181-\cdots -91\cdot 92)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что число ${18}^3+{26}^3$ делится на 176;

$$\frac{{18}^3+{26}^3}{176}=\frac{(18+26)({18}^2-18\cdot 26+{26}^2)}{(18+26)\cdot 4}=({18}^2-18\cdot 26+{26}^2)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $(2^3+3^3+\cdots +{197}^3)$ делится на 199;

$$2^3+3^3+\cdots +{197}^3=(2^3+{197}^3)+(3^3+{196}^3)+\cdots +({99}^3+{100}^3)=$$

$$$$$$=(2+197)(2^2-2\cdot 197+{197}^2)+(3+196)(3^2-3\cdot 196+{196}^2)+\cdots +$$

$$$$$$+(99+100)({99}^3-99\cdot 100+{100}^3)=199\cdot (2^2+3^2+\cdots +{196}^2-2\cdot 197-$$

$$$$$$-3\cdot 196-\cdots -99\cdot 100)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

а) Доказать, что число ${72}^3+{34}^3$ делится на 106.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что ${72}^3+{34}^3$ делится на 106.

Используем формулу для суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Подставим $a=72$ и $b=34$:

$${72}^3+{34}^3=(72+34)({72}^2-72\cdot 34+{34}^2)$$

Упростим выражение:

Сначала вычислим $72+34$:

$$72+34=106$$

Таким образом, выражение превращается в:

$${72}^3+{34}^3=106\cdot ({72}^2-72\cdot 34+{34}^2)$$

Проверим делимость на 106:

Мы видим, что произведение содержит множитель $106$, что означает, что ${72}^3+{34}^3$ делится на 106. Не нужно дополнительно проверять делимость второго множителя, так как все выражение делится на 106.

Заключение:

Число ${72}^3+{34}^3$ делится на 106, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что число $(1^3+2^3+\cdots +{182}^3)$ делится на 183.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что сумма кубов чисел от 1 до 182 делится на 183:

$$1^3+2^3+\cdots +{182}^3$$

Разбиваем сумму на пары:

Сумма кубов чисел от 1 до 182 может быть записана как:

$$(1^3+{182}^3)+(2^3+{181}^3)+\cdots +({91}^3+{92}^3)$$

Используем формулу для суммы кубов:

По формуле суммы кубов для двух чисел:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Подставим $a$ и $b$ для каждой пары:

$$1^3+{182}^3=(1+182)(1^2-1\cdot 182+{182}^2)$$$$2^3+{181}^3=(2+181)(2^2-2\cdot 181+{181}^2)$$

И так далее для всех пар.

Упростим выражение:

Все эти суммы можно объединить в одну, так как каждый множитель в скобках будет кратен 183:

$$1^3+2^3+\cdots +{182}^3=183\cdot (1^2+2^2+\cdots +{182}^2-1\cdot 182-2\cdot 181-\cdots -91\cdot 92)$$

Заключение:

Мы видим, что вся сумма представляется как произведение числа 183 на некоторое выражение. Следовательно, сумма $1^3+2^3+\cdots +{182}^3$ делится на 183. Это и требовалось доказать.

в) Доказать, что число ${18}^3+{26}^3$ делится на 176.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что ${18}^3+{26}^3$ делится на 176.

Используем формулу для суммы кубов:

Применим формулу для суммы кубов:

$$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

Подставим $a=18$ и $b=26$:

$${18}^3+{26}^3=(18+26)({18}^2-18\cdot 26+{26}^2)$$

Упростим выражение:

Сначала вычислим $18+26$:

$$18+26=44$$

Таким образом, выражение становится:

$${18}^3+{26}^3=44\cdot ({18}^2-18\cdot 26+{26}^2)$$

Проверим делимость на 176:

Теперь у нас есть множитель 44, и нужно проверить, что $44\cdot ({18}^2-18\cdot 26+{26}^2)$ делится на 176. Заметим, что:

$$176=44\cdot 4$$

Следовательно, выражение делится на 176, так как $44$ присутствует в виде множителя.

Заключение:

Число ${18}^3+{26}^3$ делится на 176, что и требовалось доказать.

г) Доказать, что число $(2^3+3^3+\cdots +{197}^3)$ делится на 199.

Исходное выражение:

Нам нужно доказать, что сумма кубов чисел от 2 до 197 делится на 199:

$$2^3+3^3+\cdots +{197}^3$$

Разбиваем сумму на пары:

Сумма кубов чисел от 2 до 197 может быть записана как:

$$(2^3+{197}^3)+(3^3+{196}^3)+\cdots +({99}^3+{100}^3)$$

Используем формулу для суммы кубов:

Применяем формулу для каждой пары:

$$2^3+{197}^3=(2+197)(2^2-2\cdot 197+{197}^2)$$$$3^3+{196}^3=(3+196)(3^2-3\cdot 196+{196}^2)$$

И так далее.

Упростим выражение:

Все суммы можно объединить в одну, так как каждый множитель в скобках будет кратен 199:

$$2^3+3^3+\cdots +{197}^3=199\cdot (2^2+3^2+\cdots +{196}^2-2\cdot 197-3\cdot 196-\cdots -99\cdot 100)$$

Заключение:

Мы видим, что вся сумма представляется как произведение числа 199 на некоторое выражение. Следовательно, сумма $2^3+3^3+\cdots +{197}^3$ делится на 199. Это и требовалось доказать.

Итоговые ответы:

а) ${72}^3+{34}^3$ делится на 106.

б) $1^3+2^3+\cdots +{182}^3$ делится на 183.

в) ${18}^3+{26}^3$ делится на 176.

г) $2^3+3^3+\cdots +{197}^3$ делится на 199.