ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все такие натуральные числа $n$, при которых:

а) выражение $\frac{5n+4}{n}$ является натуральным числом;

б) выражение $\frac{5n+4}{n+3}$ является натуральным числом;

в) выражение $\frac{7n+12}{n}$ является натуральным числом;

г) выражение $\frac{7n+11}{n-5}$ является натуральным числом.

Найти при каких натуральных значениях $n$ выражение является натуральным числом;

а) $\frac{5n+4}{n}=5+\frac{4}{n}$;

Делители числа четыре: $1;2;4$;

Ответ: $1;2;4$.

б) $\frac{5n+4}{n+3}=\frac{5n+15-11}{n+3}=5-\frac{11}{n+3}$;

Делители числа одиннадцать: $1;11$;

$n+3=1$, отсюда $n=-2$;

$n+3=11$, отсюда $n=8$;

Ответ: $8$.

в) $\frac{7n+12}{n}=7+\frac{12}{n}$;

Делители числа двенадцать: $1;2;3;4;6;12$;

Ответ: $1;2;3;4;6;12$.

г) $\frac{7n+11}{n-5}=\frac{7n-35+46}{n-5}=7+\frac{46}{n-5}$;

Делители числа сорок шесть: $1;2;23;46$;

$n-5=1$, отсюда $n=6$;

$n-5=2$, отсюда $n=7$;

$n-5=23$, отсюда $n=28$;

$n-5=46$, отсюда $n=51$;

Ответ: $6;7;28;51$.

а) $\frac{5n+4}{n}=5+\frac{4}{n}$

Шаг 1: Разделим выражение на две части

Приведем исходное выражение к виду:

$$\frac{5n+4}{n}=5+\frac{4}{n}$$

Здесь мы видим, что первое слагаемое $\frac{5n}{n}=5$, а второе слагаемое $\frac{4}{n}$ оставляем как есть.

Шаг 2: Найдем, при каких значениях $n$ дробь $\frac{4}{n}$ будет целым числом.

Чтобы $\frac{4}{n}$ было целым числом, знаменатель $n$ должен быть делителем числа 4. Разложим число 4 на множители:

$$4=2^2$$

Делителями числа 4 являются: $1,2,4$.

Таким образом, $n$ должно быть одним из этих делителей: $n=1$, $n=2$, или $n=4$.

Шаг 3: Подставим эти значения в исходное выражение и проверим.

Для $n=1$:

$$\frac{5\cdot 1+4}{1}=\frac{5+4}{1}=9$$

9 — натуральное число.

Для $n=2$:

$$\frac{5\cdot 2+4}{2}=\frac{10+4}{2}=7$$

7 — натуральное число.

Для $n=4$:

$$\frac{5\cdot 4+4}{4}=\frac{20+4}{4}=6$$

6 — натуральное число.

Ответ: Натуральными значениями $n$ являются $1,2,4$.

б) $\frac{5n+4}{n+3}=\frac{5n+15-11}{n+3}=5-\frac{11}{n+3}$

Шаг 1: Перепишем выражение для удобства

Исходное выражение можно переписать в виде:

$$\frac{5n+4}{n+3}=\frac{5n+15-11}{n+3}=5-\frac{11}{n+3}$$

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы $\frac{11}{n+3}$ было целым числом.

Шаг 2: Найдем, при каких значениях $n+3$ выражение $\frac{11}{n+3}$ будет целым числом.

Чтобы $\frac{11}{n+3}$ было целым числом, $n+3$ должно быть делителем числа 11. Разложим число 11 на множители:

$$11=1\times 11$$

Делителями числа 11 являются $1$ и $11$.

Таким образом, $n+3$ может быть равным 1 или 11.

Шаг 3: Подставим эти значения в выражение $n+3$ и найдем $n$.

Если $n+3=1$, то:

$$n=1-3=-2$$

Это значение $n=-2$ не является натуральным числом, поэтому оно не подходит.

Если $n+3=11$, то:

$$n=11-3=8$$

Это значение $n=8$ является натуральным числом.

Ответ: Единственное подходящее значение $n=8$.

в) $\frac{7n+12}{n}=7+\frac{12}{n}$

Шаг 1: Разделим выражение на две части

Приведем исходное выражение к виду:

$$\frac{7n+12}{n}=7+\frac{12}{n}$$

Здесь мы видим, что первое слагаемое $\frac{7n}{n}=7$, а второе слагаемое $\frac{12}{n}$ оставляем как есть.

Шаг 2: Найдем, при каких значениях $n$ дробь $\frac{12}{n}$ будет целым числом.

Чтобы $\frac{12}{n}$ было целым числом, знаменатель $n$ должен быть делителем числа 12. Разложим число 12 на множители:

$$12=2^2\times 3$$

Делителями числа 12 являются: $1,2,3,4,6,12$.

Таким образом, $n$ должно быть одним из этих делителей: $n=1$, $n=2$, $n=3$, $n=4$, $n=6$, или $n=12$.

Шаг 3: Подставим эти значения в исходное выражение и проверим.

Для $n=1$:

$$\frac{7\cdot 1+12}{1}=\frac{7+12}{1}=19$$

19 — натуральное число.

Для $n=2$:

$$\frac{7\cdot 2+12}{2}=\frac{14+12}{2}=13$$

13 — натуральное число.

Для $n=3$:

$$\frac{7\cdot 3+12}{3}=\frac{21+12}{3}=11$$

11 — натуральное число.

Для $n=4$:

$$\frac{7\cdot 4+12}{4}=\frac{28+12}{4}=10$$

10 — натуральное число.

Для $n=6$:

$$\frac{7\cdot 6+12}{6}=\frac{42+12}{6}=9$$

9 — натуральное число.

Для $n=12$:

$$\frac{7\cdot 12+12}{12}=\frac{84+12}{12}=8$$

8 — натуральное число.

Ответ: Натуральными значениями $n$ являются $1,2,3,4,6,12$.

г) $\frac{7n+11}{n-5}=\frac{7n-35+46}{n-5}=7+\frac{46}{n-5}$

Шаг 1: Перепишем выражение для удобства

Исходное выражение можно переписать в виде:

$$\frac{7n+11}{n-5}=\frac{7n-35+46}{n-5}=7+\frac{46}{n-5}$$

Задача сводится к тому, чтобы $\frac{46}{n-5}$ было целым числом.

Шаг 2: Найдем, при каких значениях $n-5$ выражение $\frac{46}{n-5}$ будет целым числом.

Чтобы $\frac{46}{n-5}$ было целым числом, $n-5$ должно быть делителем числа 46. Разложим число 46 на множители:

$$46=2\times 23$$

Делителями числа 46 являются: $1,2,23,46$.

Таким образом, $n-5$ может быть равным $1$, $2$, $23$ или $46$.

Шаг 3: Подставим эти значения в выражение $n-5$ и найдем $n$.

Если $n-5=1$, то:

$$n=1+5=6$$

Если $n-5=2$, то:

$$n=2+5=7$$

Если $n-5=23$, то:

$$n=23+5=28$$

Если $n-5=46$, то:

$$n=46+5=51$$

Ответ: Натуральными значениями $n$ являются $6,7,28,51$.