ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все такие натуральные числа $n$, при которых заданное выражение является натуральным числом:

а) $\frac{5n^2+7n-12}{n}$;

б) $\frac{n^7+3n^2+36}{n^2}$.

Найти при каких натуральных значениях $n$ выражение является натуральным числом;

а) $\frac{5n^2+7n-12}{n}=5n+7-\frac{12}{n}$;

Делители числа двенадцать: $1;2;3;4;6;12$;

$5n^2+7n-12>0$;

$D=7^2+4\cdot 5\cdot 12=49+240=289$, тогда:

$n_1=\frac{-7-17}{2\cdot 5}=-2,4$ и $n_2=\frac{-7+17}{2\cdot 5}=1$;

$(n+2,4)(n-1)>0$;

$n<-2,4$ и $n>1$;

Ответ: $2;3;4;6;12$.

б) $\frac{n^7+3n^2+36}{n^2}=n^5+3+\frac{36}{n^2}=n^5+3+{\left(\frac{6}{n}\right)}^2$;

Делители числа шесть: $1;2;3;6$;

Ответ: $1;2;3;6$.

а) $\frac{5n^2+7n-12}{n}=5n+7-\frac{12}{n}$

Шаг 1: Разделим выражение на части

Мы видим, что выражение $\frac{5n^2+7n-12}{n}$ можно разделить на два слагаемых:

$$\frac{5n^2}{n}+\frac{7n}{n}-\frac{12}{n}$$

Это упрощается до:

$$5n+7-\frac{12}{n}$$

Чтобы выражение было натуральным числом, дробь $\frac{12}{n}$ должна быть целым числом. Это означает, что $n$ должно быть делителем числа 12. Разложим число 12 на множители:

$$12=2^2\times 3$$

Делителями числа 12 являются: $1,2,3,4,6,12$.

Таким образом, $n$ может быть одним из этих значений: $1,2,3,4,6,12$.

Шаг 2: Проверим, при каких значениях $n$ выражение $5n+7-\frac{12}{n}$ будет натуральным числом

Теперь проверим, при каких значениях $n$ выражение $5n+7-\frac{12}{n}$ является натуральным числом для каждого делителя числа 12.

Для $n=1$:

$$5(1)+7-\frac{12}{1}=5+7-12=0$$

Это не натуральное число.

Для $n=2$:

$$5(2)+7-\frac{12}{2}=10+7-6=11$$

Это натуральное число.

Для $n=3$:

$$5(3)+7-\frac{12}{3}=15+7-4=18$$

Это натуральное число.

Для $n=4$:

$$5(4)+7-\frac{12}{4}=20+7-3=24$$

Это натуральное число.

Для $n=6$:

$$5(6)+7-\frac{12}{6}=30+7-2=35$$

Это натуральное число.

Для $n=12$:

$$5(12)+7-\frac{12}{12}=60+7-1=66$$

Это натуральное число.

Шаг 3: Итоговый ответ для пункта а

Натуральными значениями $n$, при которых выражение является натуральным числом, являются $2,3,4,6,12$.

Ответ: $2;3;4;6;12$.

б) $\frac{n^7+3n^2+36}{n^2}=n^5+3+\frac{36}{n^2}=n^5+3+{\left(\frac{6}{n}\right)}^2$

Шаг 1: Разделим выражение на части

Приведем исходное выражение к следующему виду:

$$\frac{n^7+3n^2+36}{n^2}=n^5+3+\frac{36}{n^2}$$

Здесь мы видим, что для того, чтобы выражение было натуральным числом, дробь $\frac{36}{n^2}$ должна быть целым числом. Это значит, что $n^2$ должно быть делителем числа 36.

Шаг 2: Найдем делители числа 36

Разложим число 36 на множители:

$$36=2^2\times 3^2$$

Делителями числа 36 являются: $1,2,3,4,6,9,12,18,36$.

Шаг 3: Подставим различные значения для $n$ и проверим, при каких значениях $n$ дробь $\frac{36}{n^2}$ является целым числом

Мы ищем такие значения $n$, при которых $n^2$ делится на 36. То есть, $n$ должно быть одним из делителей числа 36.

Делителями числа 36 являются $1,2,3,6$ (так как $n^2$ должно быть меньше или равно 36).

Шаг 4: Проверим, при каких значениях $n$ выражение $n^5+3+\frac{36}{n^2}$ будет натуральным числом

Для $n=1$:

$$n^5+3+\frac{36}{1^2}=1^5+3+36=1+3+36=40$$

Это натуральное число.

Для $n=2$:

$$n^5+3+\frac{36}{2^2}=2^5+3+\frac{36}{4}=32+3+9=44$$

Это натуральное число.

Для $n=3$:

$$n^5+3+\frac{36}{3^2}=3^5+3+\frac{36}{9}=243+3+4=250$$

Это натуральное число.

Для $n=6$:

$$n^5+3+\frac{36}{6^2}=6^5+3+\frac{36}{36}=7776+3+1=7780$$

Это натуральное число.

Шаг 5: Итоговый ответ для пункта б

Натуральными значениями $n$, при которых выражение является натуральным числом, являются $1,2,3,6$.

Ответ: $1;2;3;6$.

Итоговое решение:

1. Для пункта а: $2;3;4;6;12$.
2. Для пункта б: $1;2;3;6$.