ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

При каком наименьшем натуральном значении параметра а на графике заданной функции есть ровно одна точка, координатами которой являются натуральные числа? Найдите координаты этой точки:

а) $y=\frac{a}{x+1}$;

б) $y=\frac{a}{x+113}$

а) $y=\frac{a}{x+1}$;

По условию $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, значит $a\mathrm{⋮}(x+1)$;

$x=1$ — наименьшее натуральное число;

$a=x+1=1+1=2$;

$y=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1$;

Ответ: $a=2$; $(1;1)$.

б) $y=\frac{a}{x+113}$;

По условию $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, значит $a\mathrm{⋮}(x+113)$;

$x=1$ — наименьшее натуральное число;

$a=x+113=1+113=114$;

$y=\frac{114}{1+113}=\frac{114}{114}=1$;

Ответ: $a=114$; $(1;1)$.

Нам нужно найти такие значения $a$ и соответствующие точки $(x,y)$, при которых заданные выражения будут удовлетворять условиям, что $x\in \mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$.

а) $y=\frac{a}{x+1}$

Шаг 1: Условия задачи

• По условию задачи $x$ — натуральное число, то есть $x\in \mathbb{N}$, где $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$.
• Нам нужно, чтобы и $y$, и $a$ также были натуральными числами, то есть $y\in \mathbb{N}$ и $a\in \mathbb{N}$.

Шаг 2: Анализ выражения

В выражении $y=\frac{a}{x+1}$, для того чтобы $y$ было натуральным числом, числитель $a$ должен быть делим на знаменатель $x+1$. Это означает, что $a$ должно быть кратно $(x+1)$, то есть:

$$a\mathrm{⋮}(x+1)$$

То есть $a$ должно делиться на $x+1$.

Шаг 3: Найдем минимальное значение для $x$

Наименьшее натуральное число для $x$ — это $x=1$.

Подставим $x=1$ в выражение $a\mathrm{⋮}(x+1)$:

$$a\mathrm{⋮}(1+1)=a\mathrm{⋮}2$$

Таким образом, $a$ должно быть кратно 2. Минимальное значение $a$, которое делится на 2, — это $a=2$.

Шаг 4: Подставим значение $a=2$ и $x=1$ в исходное выражение для $y$

Теперь подставим $a=2$ и $x=1$ в выражение для $y$:

$$y=\frac{a}{x+1}=\frac{2}{1+1}=\frac{2}{2}=1$$

Таким образом, при $a=2$ и $x=1$, значение $y$ равно 1, что является натуральным числом.

Шаг 5: Ответ для пункта а

Ответ для пункта а: $a=2$; $(1;1)$.

б) $y=\frac{a}{x+113}$

Шаг 1: Условия задачи

• По условию задачи $x$ — натуральное число, то есть $x\in \mathbb{N}$, где $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots \}$.
• Нам нужно, чтобы и $y$, и $a$ также были натуральными числами, то есть $y\in \mathbb{N}$ и $a\in \mathbb{N}$.

Шаг 2: Анализ выражения

В выражении $y=\frac{a}{x+113}$, для того чтобы $y$ было натуральным числом, числитель $a$ должен быть делим на знаменатель $x+113$. Это означает, что $a$ должно быть кратно $(x+113)$, то есть:

$$a\mathrm{⋮}(x+113)$$

Таким образом, $a$ должно делиться на $x+113$.

Шаг 3: Найдем минимальное значение для $x$

Наименьшее натуральное число для $x$ — это $x=1$.

Подставим $x=1$ в выражение $a\mathrm{⋮}(x+113)$:

$$a\mathrm{⋮}(1+113)=a\mathrm{⋮}114$$

Таким образом, $a$ должно быть кратно 114. Минимальное значение $a$, которое делится на 114, — это $a=114$.

Шаг 4: Подставим значение $a=114$ и $x=1$ в исходное выражение для $y$

Теперь подставим $a=114$ и $x=1$ в выражение для $y$:

$$y=\frac{a}{x+113}=\frac{114}{1+113}=\frac{114}{114}=1$$

Таким образом, при $a=114$ и $x=1$, значение $y$ равно 1, что является натуральным числом.

Шаг 5: Ответ для пункта б

Ответ для пункта б: $a=114$; $(1;1)$.

Итоговое решение:

1. Для пункта а: $a=2$; $(1;1)$.
2. Для пункта б: $a=114$; $(1;1)$.