ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все значения а, при которых x и у являются натуральными числами:

а) $x=\frac{4}{a}+3$, $y=\frac{8}{a}+a$;

б) $x=\frac{3}{a}+3$, $y=\frac{9}{a}+2a$

Найти все значения $a$, при которых $x$ и $y$ являются натуральными числами;

а) $x=\frac{4}{a}+3$ и $y=\frac{8}{a}+a$;

$a$ — натуральное число;

$8:4$, значит $4:a$, тогда $1\le a\le 4$;

Делители числа четыре: $1;2;4$;

Ответ: $1;2;4$.

б) $x=\frac{3}{a}+3$ и $y=\frac{9}{a}+2a$;

$2a$ — натуральное число;

$9:4$, значит $3:a$, тогда $0,5\le a\le 3$;

Делители числа три: $0,5;1;1,5;3$;

Ответ: $0,5;1;1,5;3$.

Часть а)

Дано:

$$x=\frac{4}{a}+3\text{и}y=\frac{8}{a}+a$$

Нужно найти такие значения $a$, при которых $x$ и $y$ будут натуральными числами.

Натуральность $x$:

$$x=\frac{4}{a}+3$$

Для того чтобы $x$ было натуральным числом, выражение $\frac{4}{a}$ должно быть целым числом, то есть $a$ должно быть делителем числа 4. Давайте найдем все делители числа 4: это $a=1,2,4$.

Проверка для каждого $a$:

• Когда $a=1$:$$x=\frac{4}{1}+3=4+3=7(\text{натуральное число})$$$$y=\frac{8}{1}+1=8+1=9(\text{натуральное число})$$Таким образом, для $a=1$, и $x$, и $y$ — натуральные числа.
• Когда $a=2$:$$x=\frac{4}{2}+3=2+3=5(\text{натуральное число})$$$$y=\frac{8}{2}+2=4+2=6(\text{натуральное число})$$Для $a=2$, и $x$, и $y$ — натуральные числа.
• Когда $a=4$:$$x=\frac{4}{4}+3=1+3=4(\text{натуральное число})$$$$y=\frac{8}{4}+4=2+4=6(\text{натуральное число})$$Для $a=4$, и $x$, и $y$ — натуральные числа.

Таким образом, для $a=1,2,4$ значения $x$ и $y$ будут натуральными числами.

Ответ для части а: $a=1,2,4$.

Часть б)

Дано:

$$x=\frac{3}{a}+3\text{и}y=\frac{9}{a}+2a$$

Нужно найти такие значения $a$, при которых $x$ и $y$ являются натуральными числами.

1. Натуральность $x$:

Для того чтобы $x=\frac{3}{a}+3$ было натуральным числом, выражение $\frac{3}{a}$ должно быть целым числом, то есть $a$ должно быть делителем числа 3. Делители числа 3 — это $a=1$ и $a=3$.

Однако, как вы указали в ответе, возможно, нужно рассматривать не только делители, но и возможные значения, для которых $x$ и $y$ остаются натуральными числами, при более общем анализе.

2. Натуральность $y$:

Для $y=\frac{9}{a}+2a$, выражение $\frac{9}{a}$ должно быть целым числом, то есть $a$ должно быть делителем числа 9. В случае натуральных чисел $a$ делители числа 9 — это $a=1,3,9$.

Однако, давайте рассмотрим возможность, что $a$ может быть дробным числом, а не только целым.

3. Проверка для различных значений $a$:

Теперь давайте рассмотрим дробные значения для $a$, которые могут приводить к натуральным значениям для $x$ и $y$.

Когда $a=0.5$:

• $x=\frac{3}{0.5}+3=6+3=9$ (натуральное число).
• $y=\frac{9}{0.5}+2\times 0.5=18+1=19$ (натуральное число).

Для $a=0.5$, оба выражения $x$ и $y$ — натуральные числа.

Когда $a=1$:

• $x=\frac{3}{1}+3=3+3=6$ (натуральное число).
• $y=\frac{9}{1}+2\times 1=9+2=11$ (натуральное число).

Для $a=1$, оба выражения $x$ и $y$ — натуральные числа.

Когда $a=1.5$:

• $x=\frac{3}{1.5}+3=2+3=5$ (натуральное число).
• $y=\frac{9}{1.5}+2\times 1.5=6+3=9$ (натуральное число).

Для $a=1.5$, оба выражения $x$ и $y$ — натуральные числа.

Когда $a=3$:

• $x=\frac{3}{3}+3=1+3=4$ (натуральное число).
• $y=\frac{9}{3}+2\times 3=3+6=9$ (натуральное число).

Для $a=3$, оба выражения $x$ и $y$ — натуральные числа.

Ответ для части б: $a=0.5,1,1.5,3$.