ГДЗ Мордкович 10 Класс Профильный Уровень по Алгебре Задачник 📕 — Все Части

Алгебра Профильный Уровень

10 класс задачник профильный уровень Мордкович

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

А.Г. Мордкович, П. В. Семенов.

Год

2015-2020.

Издательство

Мнемозина.

Описание

Задачник «Алгебра. 10 класс» под авторством А.Г. Мордковича — это один из самых популярных учебных материалов для старшеклассников, изучающих алгебру на профильном уровне. Книга давно зарекомендовала себя как надежный помощник в подготовке к экзаменам и олимпиадам, а также в углубленном изучении математики.

ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задача

При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных натуральных корня:

а) $a x^{2} - (2 a^{2} + 5) x + 10 a = 0$

б) $a x^{2} - (a^{2} + 5) x + 3 a - 5 = 0$

Краткий ответ:

а) $a x^{2} - (2 a^{2} + 5) x + 10 a = 0$

Дискриминант:

$D = (2 a^{2} + 5)^{2} - 4 \cdot a \cdot 10 a$ $D = 4 a^{4} + 20 a^{2} + 25 - 40 a^{2}$ $D = 4 a^{4} - 20 a^{2} + 25 = (2 a^{2} - 5)^{2}$

Квадратное уравнение имеет два корня при $D > 0$ :

$(2 a^{2} - 5)^{2} > 0$ $2 a^{2} - 5 \neq 0$ $a \neq \sqrt{2.5}$

Корни исходного уравнения:

$x_{1} = \frac{(2 a^{2} + 5) - (2 a^{2} - 5)}{2 a} = \frac{10}{2 a} = \frac{5}{a}$ $x_{2} = \frac{(2 a^{2} + 5) + (2 a^{2} - 5)}{2 a} = \frac{4 a^{2}}{2 a} = 2 a$

Условие: $2 a$ — целое число и $5 : a$ , значит $0.5 \leq a \leq 5$ .

Делители числа пять: $0.5; 1; 2.5; 5$ .

Ответ: $0.5; 1; 2.5; 5$ .

б) $a x^{2} - (a^{2} + 5) x + 3 a - 5 = 0$

По условию $x_{1} \in N$ и $x_{2} \in N$ , значит:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{3 a - 5}{a} = 3 - \frac{5}{a} \in N$ $x_{1} + x_{2} = \frac{a^{2} + 5}{a} = a + \frac{5}{a} \in N$

Условие: $3 - \frac{5}{a} > 0$ , отсюда $a > 1$ .

$a$ — целое число и $5 : a$ , значит $a = 5$ .

Выполним проверку:

$5 x^{2} - (5^{2} + 5) x + 3 \cdot 5 - 5 = 0$ $5 x^{2} - 30 x + 10 = 0$ $x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Дискриминант:

$D = 6^{2} - 4 \cdot 2 = 36 - 8 = 28 = 4 \cdot 7$

Дискриминант не является квадратом целого числа.

Ответ: нет таких чисел.

Подробный ответ:

а) Уравнение: $a x^{2} - (2 a^{2} + 5) x + 10 a = 0$

Дискриминант
Для нахождения корней квадратного уравнения $a x^{2} + b x + c = 0$ используется дискриминант:

$D = b^{2} - 4 a c$

В нашем случае:

$a = a$ ,
$b = - (2 a^{2} + 5)$ ,
$c = 10 a$ .

Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

$D = (- (2 a^{2} + 5))^{2} - 4 \cdot a \cdot 10 a$ $D = (2 a^{2} + 5)^{2} - 40 a^{2}$

Теперь раскроем скобки:

$(2 a^{2} + 5)^{2} = (2 a^{2})^{2} + 2 \cdot 2 a^{2} \cdot 5 + 5^{2} = 4 a^{4} + 20 a^{2} + 25$

Теперь подставим это в выражение для дискриминанта:

$D = 4 a^{4} + 20 a^{2} + 25 - 40 a^{2}$

Упростим:

$D = 4 a^{4} - 20 a^{2} + 25$

Это можно представить как полный квадрат:

$D = (2 a^{2} - 5)^{2}$

Анализ дискриминанта
Мы знаем, что у квадратного уравнения будет два различных корня, если дискриминант больше нуля, один корень — если дискриминант равен нулю, и нет вещественных корней, если дискриминант меньше нуля.
Так как дискриминант является квадратом, то он всегда неотрицателен. Однако, чтобы уравнение имело два корня, дискриминант должен быть строго положительным:

$(2 a^{2} - 5)^{2} > 0$

Очевидно, что квадрат числа больше нуля, за исключением случая, когда сам множитель равен нулю. Поэтому:

$2 a^{2} - 5 \neq 0$

Решим это уравнение:

$2 a^{2} = 5 \Rightarrow a^{2} = 2.5 \Rightarrow a \neq \sqrt{2.5}$

Таким образом, $a \neq \sqrt{2.5}$ .

Нахождение корней уравнения
Теперь найдём сами корни уравнения. Для этого используем формулы корней квадратного уравнения:

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{D}}{2 a}, x_{2} = \frac{- b + \sqrt{D}}{2 a}$

Так как $D = (2 a^{2} - 5)^{2}$ , то корни будут:

$x_{1} = \frac{(2 a^{2} + 5) - (2 a^{2} - 5)}{2 a} = \frac{10}{2 a} = \frac{5}{a}$ $x_{2} = \frac{(2 a^{2} + 5) + (2 a^{2} - 5)}{2 a} = \frac{4 a^{2}}{2 a} = 2 a$

Условие для целых корней
Задано, что $2 a$ — целое число, то есть $a$ должно быть целым числом. Также, чтобы $\frac{5}{a}$ было целым числом, $a$ должно быть делителем числа 5. Делители числа 5: $0.5, 1, 2.5, 5$ .

Нахождение допустимых значений для $a$
Поскольку $a$ — целое число, то возможные значения для $a$ — это $1, 5$ . Однако, для целого числа $a$ , также должно быть выполнено условие, что $2 a$ — целое число. Поэтому $a$ может быть равным $0.5, 1, 2.5, 5$ .

Ответ: $0.5; 1; 2.5; 5$ .

б) Уравнение: $a x^{2} - (a^{2} + 5) x + 3 a - 5 = 0$

Условия для корней
По условию задачи, оба корня уравнения должны быть натуральными числами: $x_{1}, x_{2} \in N$ . Для этого используем формулы Виета:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{3 a - 5}{a}$ ,
$x_{1} + x_{2} = \frac{a^{2} + 5}{a}$ .

Для того чтобы оба корня были натуральными числами, выражения $\frac{3 a - 5}{a}$ и $\frac{a^{2} + 5}{a}$ должны быть натуральными числами.

Первые уравнения
Из уравнения для произведения корней:

$x_{1} \cdot x_{2} = 3 - \frac{5}{a} \in N$

Получаем, что $a$ должно быть таким, чтобы $\frac{5}{a}$ было целым числом, то есть $a$ должно быть делителем числа 5. Возможные значения $a$ : $1, 5$ .

Из уравнения для суммы корней:

$x_{1} + x_{2} = a + \frac{5}{a} \in N$

Аналогично, $a$ должно быть таким, чтобы $\frac{5}{a}$ было целым числом, то есть $a = 1$ или $a = 5$ .

Проверка для $a = 5$
Подставим $a = 5$ в исходное уравнение:

$5 x^{2} - (5^{2} + 5) x + 3 \cdot 5 - 5 = 0$

Упростим:

$5 x^{2} - 30 x + 10 = 0$ $x^{2} - 6 x + 2 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (- 6)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 36 - 8 = 28$

Дискриминант не является квадратом целого числа, следовательно, у уравнения нет целых корней.

Ответ
Таким образом, у уравнения нет целых чисел, которые бы удовлетворяли данным условиям.

Ответ: нет таких чисел.

Оцени решение