ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.22 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите последнюю цифру числа:

а) $2^{1047}$

б) $3^{1641}$

в) $7^{1709}$

г) $9^{1861}$

Найти последнюю цифру числа:

а) $2^{1047}$;

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 2^1=2;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2^2=2\cdot 2=4;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2^3=4\cdot 2=8;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2^4=8\cdot 2=16;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 2^5=16\cdot 2=32;}\end{array}$$

Последняя цифра повторяется: $2;4;8;6$.

$$1047:4=261(\text{остаток }3);$$

Ответ: $8$.

б) $3^{1641}$;

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 3^1=3;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 3^2=3\cdot 3=9;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 3^3=9\cdot 3=27;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 3^4=27\cdot 3=81;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 3^5=81\cdot 3=243;}\end{array}$$

Последняя цифра повторяется: $3;9;7;1$.

$$1641:4=410(\text{остаток }1);$$

Ответ: $3$.

в) $7^{1709}$;

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 7^1=7;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 7^2=7\cdot 7=49;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 7^3=49\cdot 7=343;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 7^4=343\cdot 4=2401;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 7^5=2401\cdot 5=16807;}\end{array}$$

Последняя цифра повторяется: $7;9;3;1$.

$$1709:4=427(\text{остаток }1);$$

Ответ: $7$.

г) $9^{1861}$;

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle }& {\displaystyle 9^1=9;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 9^2=9\cdot 9=81;}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle 9^3=81\cdot 9=729;}\end{array}$$

Последняя цифра повторяется: $9;1$.

$$1861:2=930(\text{остаток }1);$$

Ответ: $9$.

Нужно найти последнюю цифру числа, возведенного в степень. Для этого мы будем исследовать цикличность последней цифры для каждого числа в разных степенях.

а) $2^{1047}$

Нахождение цикла последней цифры степени числа 2:

Мы начнем с того, что найдем несколько первых степеней числа 2 и запишем их последние цифры:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2^1}& {\displaystyle =2\text{(последняя цифра 2)};}\\ {\displaystyle 2^2}& {\displaystyle =4\text{(последняя цифра 4)};}\\ {\displaystyle 2^3}& {\displaystyle =8\text{(последняя цифра 8)};}\\ {\displaystyle 2^4}& {\displaystyle =16\text{(последняя цифра 6)};}\\ {\displaystyle 2^5}& {\displaystyle =32\text{(последняя цифра 2)};}\\ {\displaystyle 2^6}& {\displaystyle =64\text{(последняя цифра 4)};}\\ {\displaystyle 2^7}& {\displaystyle =128\text{(последняя цифра 8)};}\\ {\displaystyle 2^8}& {\displaystyle =256\text{(последняя цифра 6)}\mathrm{.}}\end{array}$$

Как видим, последние цифры повторяются с периодичностью 4: $2,4,8,6$.

Поиск остатка от деления 1047 на 4:

Так как цикл повторяется каждые 4 числа, нам нужно найти остаток от деления показателя степени 1047 на 4, чтобы понять, на какой позиции цикла будет находиться последняя цифра числа $2^{1047}$:

$$1047÷4=261(\text{остаток }3)\mathrm{.}$$

Остаток 3 означает, что мы должны выбрать третью цифру в цикле $2,4,8,6$, а это 8.

Ответ: последняя цифра $2^{1047}$ — это $8$.

б) $3^{1641}$

Нахождение цикла последней цифры степени числа 3:

Теперь найдем цикл последней цифры для числа 3:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 3^1}& {\displaystyle =3\text{(последняя цифра 3)};}\\ {\displaystyle 3^2}& {\displaystyle =9\text{(последняя цифра 9)};}\\ {\displaystyle 3^3}& {\displaystyle =27\text{(последняя цифра 7)};}\\ {\displaystyle 3^4}& {\displaystyle =81\text{(последняя цифра 1)};}\\ {\displaystyle 3^5}& {\displaystyle =243\text{(последняя цифра 3)};}\\ {\displaystyle 3^6}& {\displaystyle =729\text{(последняя цифра 9)};}\\ {\displaystyle 3^7}& {\displaystyle =2187\text{(последняя цифра 7)};}\\ {\displaystyle 3^8}& {\displaystyle =6561\text{(последняя цифра 1)}\mathrm{.}}\end{array}$$

Цикл повторяется каждые 4 числа: $3,9,7,1$.

Поиск остатка от деления 1641 на 4:

Найдем остаток от деления 1641 на 4:

$$1641÷4=410(\text{остаток }1)\mathrm{.}$$

Остаток 1 означает, что мы должны выбрать первую цифру в цикле $3,9,7,1$, а это 3.

Ответ: последняя цифра $3^{1641}$ — это $3$.

в) $7^{1709}$

Нахождение цикла последней цифры степени числа 7:

Найдем цикл последних цифр для числа 7:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 7^1}& {\displaystyle =7\text{(последняя цифра 7)};}\\ {\displaystyle 7^2}& {\displaystyle =49\text{(последняя цифра 9)};}\\ {\displaystyle 7^3}& {\displaystyle =343\text{(последняя цифра 3)};}\\ {\displaystyle 7^4}& {\displaystyle =2401\text{(последняя цифра 1)};}\\ {\displaystyle 7^5}& {\displaystyle =16807\text{(последняя цифра 7)};}\\ {\displaystyle 7^6}& {\displaystyle =117649\text{(последняя цифра 9)};}\\ {\displaystyle 7^7}& {\displaystyle =823543\text{(последняя цифра 3)};}\\ {\displaystyle 7^8}& {\displaystyle =5764801\text{(последняя цифра 1)}\mathrm{.}}\end{array}$$

Цикл повторяется каждые 4 числа: $7,9,3,1$.

Поиск остатка от деления 1709 на 4:

Теперь найдем остаток от деления 1709 на 4:

$$1709÷4=427(\text{остаток }1)\mathrm{.}$$

Остаток 1 означает, что мы должны выбрать первую цифру в цикле $7,9,3,1$, а это 7.

Ответ: последняя цифра $7^{1709}$ — это $7$.

г) $9^{1861}$

Нахождение цикла последней цифры степени числа 9:

Найдем цикл последних цифр для числа 9:

$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 9^1}& {\displaystyle =9\text{(последняя цифра 9)};}\\ {\displaystyle 9^2}& {\displaystyle =81\text{(последняя цифра 1)};}\\ {\displaystyle 9^3}& {\displaystyle =729\text{(последняя цифра 9)}\mathrm{.}}\end{array}$$

Цикл повторяется каждые 2 числа: $9,1$.

Поиск остатка от деления 1861 на 2:

Найдем остаток от деления 1861 на 2:

$$1861÷2=930(\text{остаток }1)\mathrm{.}$$

Остаток 1 означает, что мы должны выбрать первую цифру в цикле $9,1$, а это 9.

Ответ: последняя цифра $9^{1861}$ — это $9$.

Итоговые ответы:

• а) $2^{1047}$ — последняя цифра $8$.
• б) $3^{1641}$ — последняя цифра $3$.
• в) $7^{1709}$ — последняя цифра $7$.
• г) $9^{1861}$ — последняя цифра $9$.