ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите последнюю цифру числа:

а) ${2001}^{{2002}^{2003}}$

б) ${1999}^{{2002}^{1333}}$

в) ${1345}^{{6789}^{12\cdot 345}}$

г) ${23456}^{{78901}^{2345}}$

Последняя цифра числа $m^n$ всегда равна последней цифре числа $m$ в степени $n$;

а) ${2001}^{{2002}^{2003}}$;
Цифра один в любой степени равна единице;
Ответ: 1.

б) ${1999}^{{2002}^{1333}}$;
$9^1=9$;
$9^2=9\cdot 9=81$;
$9^3=81\cdot 9=729$;
Последняя цифра повторяется (нечет/чет): 9; 1;
Число 2002 четное, значит число ${2002}^{1333}$ также четное;
Ответ: 1.

в) ${1345}^{{6789}^{12\cdot 345}}$;
$5^1=5$;
$5^2=5\cdot 5=25$;
Цифра пять в любой степени оканчивается на пять;
Ответ: 5.

г) ${23456}^{{78901}^{2345}}$;
$6^1=6$;
$6^2=6\cdot 6=36$;
Цифра шесть в любой степени оканчивается на шесть;
Ответ: 6.

Общий принцип

Для вычисления последней цифры числа $m^n$, нам нужно найти последнюю цифру числа $m$, а затем исследовать поведение последней цифры в степенях числа $m$.

Важно помнить, что для всех чисел существует периодичность в последовательности последних цифр при возведении числа в различные степени. Например, если мы возьмем $2^1,2^2,2^3,\dots$, то последние цифры будут повторяться с определённым периодом. Это поможет нам в вычислениях.

а) ${2001}^{{2002}^{2003}}$

Шаг 1: Определяем последнюю цифру числа 2001

Последняя цифра числа $2001$ — это 1, так как $2001\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10=1$.

Шаг 2: Анализируем степень

Не имеет значения, какую степень имеет число $2001$, так как последняя цифра числа 1 не меняется при любом возведении в степень.

Шаг 3: Ответ

Следовательно, последняя цифра числа ${2001}^{{2002}^{2003}}$ будет равна последней цифре числа 1, которая всегда равна 1.

Ответ: 1

б) ${1999}^{{2002}^{1333}}$

Шаг 1: Определяем последнюю цифру числа 1999

Последняя цифра числа $1999$ — это 9, так как $1999\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10=9$.

Шаг 2: Исследуем последовательность последних цифр степени числа 9

Теперь нужно рассмотреть поведение последних цифр степеней числа 9:

• $9^1=9$
• $9^2=81$ (последняя цифра — 1)
• $9^3=729$ (последняя цифра — 9)
• $9^4=6561$ (последняя цифра — 1)

Замечаем, что последние цифры повторяются с периодом 2: $9,1,9,1,\dots$

Шаг 3: Определяем четность степени

Число $2002$ — четное, следовательно, степень ${2002}^{1333}$ тоже будет четной, так как чётная степень любого числа всегда даёт чётный результат.

Шаг 4: Ответ

Поскольку степень чётная, то по циклу повторения последних цифр число $9^n$, где $n$ — чётное, будет иметь последнюю цифру 1.

Ответ: 1

в) ${1345}^{{6789}^{12\cdot 345}}$

Шаг 1: Определяем последнюю цифру числа 1345

Последняя цифра числа $1345$ — это 5, так как $1345\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10=5$.

Шаг 2: Анализируем поведение числа 5 в степенях

Для чисел, заканчивающихся на 5, можно заметить, что:

• $5^1=5$
• $5^2=25$ (последняя цифра — 5)
• $5^3=125$ (последняя цифра — 5)
• $5^4=625$ (последняя цифра — 5)

Таким образом, независимо от степени, последняя цифра всех степеней числа, оканчивающегося на 5, всегда будет равна 5.

Шаг 3: Ответ

Так как последняя цифра числа 1345 всегда будет 5 для любых степеней, то последняя цифра числа ${1345}^{{6789}^{12\cdot 345}}$ также будет равна 5.

Ответ: 5

г) ${23456}^{{78901}^{2345}}$

Шаг 1: Определяем последнюю цифру числа 23456

Последняя цифра числа $23456$ — это 6, так как $23456\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}10=6$.

Шаг 2: Анализируем поведение числа 6 в степенях

Для чисел, заканчивающихся на 6, можно заметить, что:

• $6^1=6$
• $6^2=36$ (последняя цифра — 6)
• $6^3=216$ (последняя цифра — 6)
• $6^4=1296$ (последняя цифра — 6)

Таким образом, независимо от степени, последняя цифра всех степеней числа, оканчивающегося на 6, всегда будет равна 6.

Шаг 3: Ответ

Поскольку последняя цифра числа 23456 всегда будет 6 для любых степеней, то последняя цифра числа ${23456}^{{78901}^{2345}}$ также будет равна 6.

Ответ: 6

Итоговые ответы:

• а) Ответ: 1
• б) Ответ: 1
• в) Ответ: 5
• г) Ответ: 6