ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.24 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Существуют ли такие натуральные числа n и k, что последняя цифра разности указанных двух степеней равна нулю:

а) ${627}^n-{833}^k$

б) ${834}^n-{626}^k$

Последняя цифра числа $m^n$ всегда равна последней цифре числа $m$ в степени $n$;

а) ${627}^n-{833}^k$;

Для числа ${627}^n$:

$$7^1=7;$$$$7^2=7\cdot 7=49;$$$$7^3=49\cdot 7=343;$$$$7^4=343\cdot 7=2401;$$$$7^5=2401\cdot 7=16807;$$

Последняя цифра повторяется: $7;9;3;1;$

Для числа ${833}^k$:

$$3^1=3;$$$$3^2=3\cdot 3=9;$$$$3^3=9\cdot 3=27;$$$$3^4=27\cdot 3=81;$$$$3^5=81\cdot 3=243;$$

Последняя цифра повторяется: $3;9;7;1;$

Последние цифры чисел одинаковы при:

$$n=k=2+4q;$$$$n=k=4+4q;$$$$n=3+4q\text{ и }k=1+4p;$$$$n=1+4q\text{ и }k=3+4p;$$

Ответ: существуют.

б) ${834}^n-{626}^k$;

Для числа ${834}^n$:

$$4^1=4;$$$$4^2=4\cdot 4=16;$$$$4^3=16\cdot 4=64;$$

Последняя цифра повторяется: $4;6;$

Для числа ${626}^k$:

$$6^1=6;$$$$6^2=6\cdot 6=36;$$

Последняя цифра повторяется: $6;$

Последние цифры чисел одинаковы при:

$$n=2+2q\text{ и }k\in \mathbb{N};$$

Ответ: существуют.

В этой задаче нам нужно определить, когда последние цифры чисел, полученных при возведении чисел в степени, будут одинаковыми. Для этого будем внимательно анализировать, как меняются последние цифры при возведении чисел в степень, а также выявлять закономерности для каждого случая.

Часть а) ${627}^n-{833}^k$

1. Для числа ${627}^n$:

Первое, что нам нужно сделать, это обратить внимание на последнюю цифру числа 627. Последняя цифра этого числа — это цифра 7. Поэтому будем рассматривать только степени числа 7, так как только она будет влиять на последнюю цифру числа ${627}^n$.

Рассмотрим возведение числа 7 в различные степени:

• $7^1=7$ — последняя цифра $7$
• $7^2=49$ — последняя цифра $9$
• $7^3=343$ — последняя цифра $3$
• $7^4=2401$ — последняя цифра $1$
• $7^5=16807$ — последняя цифра $7$

Мы видим, что последние цифры чисел $7^n$ образуют периодическую последовательность из 4 элементов: $7;9;3;1$. Этот цикл повторяется снова начиная с 7.

Таким образом, последние цифры чисел ${627}^n$ будут чередоваться по следующему циклу:
$7,9,3,1,7,9,3,1,\dots$

2. Для числа ${833}^k$:

Теперь рассмотрим число ${833}^k$. Последняя цифра числа 833 — это цифра 3. Поэтому будем анализировать только степени числа 3, так как именно она будет влиять на последнюю цифру числа ${833}^k$.

Рассмотрим возведение числа 3 в различные степени:

• $3^1=3$ — последняя цифра $3$
• $3^2=9$ — последняя цифра $9$
• $3^3=27$ — последняя цифра $7$
• $3^4=81$ — последняя цифра $1$
• $3^5=243$ — последняя цифра $3$

Последние цифры чисел $3^k$ также образуют периодическую последовательность из 4 элементов: $3;9;7;1$. Этот цикл повторяется, начиная с 3.

Таким образом, последние цифры чисел ${833}^k$ будут чередоваться по следующему циклу:
$3,9,7,1,3,9,7,1,\dots$

3. Когда последние цифры чисел одинаковы:

Теперь нам нужно найти такие значения $n$ и $k$, при которых последние цифры чисел ${627}^n$ и ${833}^k$ будут одинаковыми. Мы ищем такие степени $n$ и $k$, для которых соответствующие последние цифры из циклов будут совпадать.

Циклы последних цифр:

• Для ${627}^n$ цикл: $7,9,3,1$
• Для ${833}^k$ цикл: $3,9,7,1$

Для каждого возможного совпадения последних цифр рассмотрим, при каких значениях $n$ и $k$ они будут равны.

Когда последняя цифра равна 7:

• Для ${627}^n$ это происходит при $n=1+4q$, где $q\in \mathbb{Z}$.
• Для ${833}^k$ это происходит при $k=3+4p$, где $p\in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, $n=1+4q$ и $k=3+4p$.

Когда последняя цифра равна 9:

• Для ${627}^n$ это происходит при $n=2+4q$, где $q\in \mathbb{Z}$.
• Для ${833}^k$ это происходит при $k=2+4p$, где $p\in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, $n=2+4q$ и $k=2+4p$.

Когда последняя цифра равна 3:

• Для ${627}^n$ это происходит при $n=3+4q$, где $q\in \mathbb{Z}$.
• Для ${833}^k$ это происходит при $k=1+4p$, где $p\in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, $n=3+4q$ и $k=1+4p$.

Когда последняя цифра равна 1:

• Для ${627}^n$ это происходит при $n=4+4q$, где $q\in \mathbb{Z}$.
• Для ${833}^k$ это происходит при $k=4+4p$, где $p\in \mathbb{Z}$.
  Таким образом, $n=4+4q$ и $k=4+4p$.

Ответ для части а:
Последние цифры чисел ${627}^n$ и ${833}^k$ совпадают при следующих условиях на $n$ и $k$:

$$n=k=2+4q;$$$$n=k=4+4q;$$$$n=3+4q\text{ и }k=1+4p;$$$$n=1+4q\text{ и }k=3+4p;$$

Ответ: существуют.

Часть б) ${834}^n-{626}^k$

1. Для числа ${834}^n$:

Теперь рассмотрим число ${834}^n$. Последняя цифра этого числа — это цифра 4. Следовательно, будем анализировать только степени числа 4.

Рассмотрим возведение числа 4 в различные степени:

• $4^1=4$ — последняя цифра $4$
• $4^2=16$ — последняя цифра $6$
• $4^3=64$ — последняя цифра $4$

Последние цифры чисел $4^n$ образуют периодическую последовательность из 2 элементов: $4;6$. Этот цикл повторяется, начиная с 4.

Таким образом, последние цифры чисел ${834}^n$ будут чередоваться по следующему циклу:
$4,6,4,6,\dots$

2. Для числа ${626}^k$:

Теперь рассмотрим число ${626}^k$. Последняя цифра этого числа — это цифра 6. Таким образом, будем анализировать только степени числа 6.

Рассмотрим возведение числа 6 в различные степени:

• $6^1=6$ — последняя цифра $6$
• $6^2=36$ — последняя цифра $6$

Последняя цифра чисел $6^k$ всегда будет равна 6. Следовательно, цикл для чисел ${626}^k$ состоит только из одной цифры:
$6,6,6,6,\dots$

3. Когда последние цифры чисел одинаковы:

Теперь нам нужно найти такие значения $n$ и $k$, при которых последние цифры чисел ${834}^n$ и ${626}^k$ будут одинаковыми. Мы ищем такие степени $n$ и $k$, для которых последние цифры из циклов будут совпадать.

Циклы последних цифр:

• Для ${834}^n$ цикл: $4,6,4,6,\dots$
• Для ${626}^k$ цикл: $6,6,6,\dots$

Единственная ситуация, когда последние цифры будут одинаковыми, — это когда обе цифры равны 6. Это происходит при $n$ четном, так как цикл чисел ${834}^n$ повторяется через 2, начиная с 4. Таким образом, $n$ должно быть четным.

Ответ для части б:
Последние цифры чисел ${834}^n$ и ${626}^k$ совпадают при следующих условиях на $n$ и $k$:

$$n=2+2q\text{ и }k\in \mathbb{N};$$

Ответ: существуют.