ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что произведение 1 • 2 • 3 •)… • 13 делится на (1 + 2 + 3 +)… + 13 , а произведение 1 • 2 • 3 •)… • 16 не делится на (1 + 2 + 3 +)… + 16).

а) Доказать, что $(1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 13)$ делится на $(1+2+3+\cdots +13)$;

$1+2+3+\cdots +13=(1+13)+(2+12)+\cdots +(6+8)+7=$

$=14+14+\cdots +14+7=14\cdot 6+7=7(2\cdot 6+1)=7\cdot 13$;

Произведение содержит числа 7 и 13, значит оно делится на сумму нацело, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что $(1\cdot 2\cdot 3\cdot \dots \cdot 16)$ не делится на $(1+2+3+\cdots +16)$;

$1+2+3+\cdots +16=(1+16)+(2+15)+(3+14)+\cdots +(8+9)=$

$=17+17+\cdots +17=17\cdot 8$;

Число 17 является простым и произведение его не содержит, значит оно не делится на сумму нацело, что и требовалось доказать.

Задача а) Доказать, что произведение чисел от 1 до 13 делится на сумму чисел от 1 до 13.

Шаг 1. Найдем сумму чисел от 1 до 13.

Для начала вычислим сумму чисел от 1 до 13. Это можно сделать с использованием известной формулы для суммы арифметической прогрессии:

$$S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

где:

• $n$ — количество членов прогрессии,
• $a_1$ — первый член прогрессии,
• $a_n$ — последний член прогрессии.

В нашем случае:

• $n=13$,
• $a_1=1$,
• $a_n=13$.

Подставим эти значения в формулу:

$$S=\frac{13(1+13)}{2}=\frac{13\cdot 14}{2}=91$$

Таким образом, сумма чисел от 1 до 13 равна 91.

Шаг 2. Разложим сумму на более удобную форму.

Мы можем представить сумму $1+2+3+\cdots +13$ как серию парных сложений:

$$(1+13)+(2+12)+(3+11)+(4+10)+(5+9)+(6+8)+7$$

В каждой из этих пар сумма равна 14, а последним числом будет 7. Тогда мы можем переписать сумму следующим образом:

$$1+2+3+\cdots +13=14+14+14+14+14+14+7$$

Теперь видно, что сумма состоит из шести чисел по 14 и одного числа 7. Это можно записать как:

$$1+2+3+\cdots +13=14\cdot 6+7$$

Шаг 3. Представим сумму в удобной форме для доказательства делимости.

Мы видим, что сумма равна:

$$1+2+3+\cdots +13=7\cdot (2\cdot 6+1)=7\cdot 13$$

Таким образом, сумма чисел от 1 до 13 делится на 7 и на 13.

Шаг 4. Рассмотрим произведение чисел от 1 до 13.

Теперь давайте рассмотрим произведение чисел от 1 до 13:

$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot 13=13!$$

Это произведение обязательно содержит множители 7 и 13, так как эти числа входят в состав произведения. В частности, число 13 входит в произведение как один из множителей, а число 7 также присутствует в произведении.

Шаг 5. Делимость произведения на сумму.

Мы уже доказали, что сумма чисел от 1 до 13 равна $7\cdot 13$, то есть она делится на 7 и на 13. Поскольку произведение $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot 13$ содержит эти множители, то оно обязательно делится на сумму чисел от 1 до 13.

Ответ для части а: Произведение чисел от 1 до 13 делится на сумму чисел от 1 до 13.

Задача б) Доказать, что произведение чисел от 1 до 16 не делится на сумму чисел от 1 до 16.

Шаг 1. Найдем сумму чисел от 1 до 16.

Для начала вычислим сумму чисел от 1 до 16 с помощью той же формулы для суммы арифметической прогрессии:

$$S=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$$

где:

• $n=16$,
• $a_1=1$,
• $a_n=16$.

Подставим эти значения в формулу:

$$S=\frac{16(1+16)}{2}=\frac{16\cdot 17}{2}=136$$

Таким образом, сумма чисел от 1 до 16 равна 136.

Шаг 2. Разложим сумму на более удобную форму.

Мы можем представить сумму $1+2+3+\cdots +16$ как серию парных сложений:

$$(1+16)+(2+15)+(3+14)+(4+13)+(5+12)+(6+11)+(7+10)+(8+9)$$

В каждой из этих пар сумма равна 17, и у нас 8 таких пар:

$$1+2+3+\cdots +16=17+17+17+17+17+17+17+17=17\cdot 8$$

Таким образом, сумма чисел от 1 до 16 равна $17\cdot 8$.

Шаг 3. Рассмотрим произведение чисел от 1 до 16.

Теперь давайте рассмотрим произведение чисел от 1 до 16:

$$1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot 16=16!$$

Это произведение включает все числа от 1 до 16, в том числе 17, но заметим, что число 17 отсутствует в самом произведении $16!$. Следовательно, произведение $1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdots \cdot 16$ не содержит множителя 17.

Шаг 4. Делимость произведения на сумму.

Мы уже знаем, что сумма чисел от 1 до 16 равна $17\cdot 8$. Поскольку число 17 является простым, оно не может быть фактором произведения чисел от 1 до 16, так как 17 не входит в это произведение.

Следовательно, произведение чисел от 1 до 16 не делится на сумму чисел от 1 до 16.

Ответ для части б: Произведение чисел от 1 до 16 не делится на сумму чисел от 1 до 16.