ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.27 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) произведение двух идущих подряд натуральных чисел делится на 2;

б) произведение трех идущих подряд натуральных чисел делится на 3 и на 6;

в) произведение четырех идущих подряд натуральных чисел делится на 4, на 12 и на 24;

г) произведение пяти идущих подряд натуральных чисел делится на 5, на 20 и на 120.

а) Среди двух идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное двум:

$$\frac{n(n+1)}{2}\in \mathbb{N};$$

б) Среди трех идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное трем и, как минимум, одно число, кратное двум:

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{2\cdot 3}\in \mathbb{N};$$

в) Среди четырех идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное четырем, как минимум одно число кратное трем и два числа, кратных двум:

$$x=n(n+1)(n+2)(n+3);$$

$$$$$$\frac{x}{24}=\frac{x}{2\cdot 12}=\frac{x}{2\cdot 3\cdot 4}\in \mathbb{N};$$

г) Среди пяти идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное пяти, как минимум по одному числу кратных трём и четырём, и как минимум два числа, кратных двум:

$$x=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4);$$

$$$$$$\frac{x}{120}=\frac{x}{6\cdot 20}=\frac{x}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\in \mathbb{N}$$

Часть а)

Утверждение: Среди двух идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное двум.

Доказательство:

Пусть у нас есть два последовательных натуральных числа $n$ и $n+1$. Мы утверждаем, что одно из этих чисел обязательно делится на 2, то есть одно из них обязательно четное.

• Число $n$ может быть четным, если оно делится на 2. В этом случае $n$ делится на 2.
• Число $n+1$ может быть четным, если оно делится на 2. В этом случае $n+1$ делится на 2.

Так как $n$ и $n+1$ — это два последовательных числа, одно из них обязательно четное. Следовательно, одно из этих чисел делится на 2.

Таким образом, утверждение доказано, так как всегда существует число, которое делится на 2 среди любых двух последовательных чисел.

Математически это можно выразить через формулу:

$$\frac{n(n+1)}{2}\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Здесь мы видим, что произведение $n(n+1)$ всегда делится на 2, так как среди двух последовательных чисел одно обязательно делится на 2.

Ответ для части а: Утверждение доказано.

Часть б)

Утверждение: Среди трех идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное трем и, как минимум, одно число, кратное двум.

Доказательство:

Пусть у нас есть три последовательных числа $n$, $n+1$, и $n+2$. Мы утверждаем, что одно из этих чисел обязательно делится на 3 и как минимум одно из этих чисел делится на 2.

• Кратность тройке. Среди трех последовательных чисел одно из них обязательно делится на 3, так как числа, делящиеся на 3, идут через одно число. То есть одно из чисел $n$, $n+1$, или $n+2$ обязательно делится на 3.
• Кратность двум. Среди трех последовательных чисел, одно из них обязательно будет четным (кратно двум), так как числа, делящиеся на 2, идут через одно число. Поэтому одно из чисел $n$, $n+1$, или $n+2$ обязательно будет четным.

Таким образом, среди трех идущих подряд чисел одно делится на 3 и одно делится на 2.

Математически это выражается следующим образом:

$$\frac{n(n+1)(n+2)}{6}=\frac{n(n+1)(n+2)}{2\cdot 3}\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Здесь числитель $n(n+1)(n+2)$ делится на 6, так как в нем содержатся множители, делящиеся на 2 и 3, а знаменатель 6 раскладывается как произведение 2 и 3.

Ответ для части б: Утверждение доказано.

Часть в)

Утверждение: Среди четырех идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное четырем, как минимум одно число кратное трем и два числа, кратных двум.

Доказательство:

Пусть у нас есть четыре последовательных числа $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$. Мы утверждаем, что среди этих четырех чисел:

• Одно из чисел обязательно делится на 4 (кратно 4).
• Одно из чисел обязательно делится на 3 (кратно 3).
• Два числа из этих четырех обязательно будут четными (кратными 2).
• Кратность четырем. Среди четырех последовательных чисел одно из них обязательно будет кратно 4. Это происходит потому, что числа, кратные 4, идут через 4, и среди четырех чисел хотя бы одно будет делиться на 4.
• Кратность трем. Среди четырех чисел одно обязательно делится на 3. Это объясняется тем, что числа, кратные 3, идут через два числа, и одно из четырех чисел обязательно будет делиться на 3.
• Кратность двум. Среди четырех чисел как минимум два числа будут четными (кратными 2), так как числа, делящиеся на 2, идут через одно число.

Таким образом, среди четырех последовательных чисел выполняются все условия: одно число делится на 4, одно — на 3, и два — на 2.

Математически это выражается через формулу:

$$x=n(n+1)(n+2)(n+3),$$$$\frac{x}{24}=\frac{x}{2\cdot 12}=\frac{x}{2\cdot 3\cdot 4}\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Здесь выражение $x=n(n+1)(n+2)(n+3)$ делится на 24, так как в нем присутствуют множители 2, 3 и 4.

Ответ для части в: Утверждение доказано.

Часть г)

Утверждение: Среди пяти идущих подряд натуральных чисел есть одно число, кратное пяти, как минимум по одному числу кратных трем и четырём, и как минимум два числа, кратных двум.

Доказательство:

Пусть у нас есть пять последовательных чисел $n$, $n+1$, $n+2$, $n+3$, $n+4$. Мы утверждаем, что среди этих пяти чисел:

• Одно из чисел обязательно делится на 5 (кратно 5).
• Одно из чисел обязательно делится на 3 (кратно 3).
• Одно из чисел обязательно делится на 4 (кратно 4).
• Два из этих чисел обязательно будут четными (кратными 2).
• Кратность пяти. Среди пяти последовательных чисел одно обязательно делится на 5, так как числа, делящиеся на 5, идут через 5, и одно из пяти чисел обязательно будет делиться на 5.
• Кратность трем. Среди пяти чисел одно обязательно делится на 3, так как числа, делящиеся на 3, идут через два числа.
• Кратность четырем. Среди пяти чисел одно обязательно делится на 4, так как числа, делящиеся на 4, идут через 4.
• Кратность двум. Среди пяти чисел два из них обязательно будут четными, так как числа, делящиеся на 2, идут через одно число.

Таким образом, среди пяти последовательных чисел выполняются все условия: одно число делится на 5, одно — на 3, одно — на 4, и два числа — на 2.

Математически это выражается через формулу:

$$x=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4),$$$$\frac{x}{120}=\frac{x}{6\cdot 20}=\frac{x}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5}\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Здесь выражение $x=n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$ делится на 120, так как в нем присутствуют множители 2, 3, 4 и 5.

Ответ для части г: Утверждение доказано.