ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.3 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите какие-нибудь 36 идущих подряд трехзначных чисел, среди которых нет ни одного кратного 37. Какое наименьшее и какое наибольшее значение может принимать наименьшее из этих 36 трехзначных чисел?

1. Уравнение чисел, кратных 37:
   $a_1=37\text{ и }d=37;$
   $a_n=a_1+d(n-1)=37+37(n-1)=37+37n-37=37n;$
2. Наименьшее такое трехзначное число ($a_n$):
   $37n>99;$
   $n>2\frac{25}{37};$
   $n=3;$
   $a_n=37\cdot 3=111;$
   $a_{n+1}=111+37=148;$
3. Наибольшее такое трехзначное число ($a_n$):
   $37n<1000;$
   $n<27\frac{1}{37};$
   $n=27;$
   $a_n=37\cdot 27=999;$
   $a_{n-1}=999-37=962;$
4. Среди $n$ натуральных чисел одно и только одно делится на $n$, значит 36 идущими подряд трехзначными числами, среди которых нет ни одного числа кратного 37, могут быть:
   $112;113;114;\dots ;146;147;$
   $963;964;965;\dots ;997;998;$

Ответ: 112; 963.

1) Уравнение чисел, кратных 37

Задача начинается с нахождения общего выражения для чисел, кратных 37. Это простая арифметическая прогрессия, где:

• Первое число прогрессии $a_1=37$ (это первое число, которое делится на 37).
• Разность прогрессии $d=37$, поскольку каждое следующее число в прогрессии увеличивается на 37.

Общее выражение для $n$-го числа прогрессии (которое делится на 37) можно записать как:

$$a_n=a_1+d(n-1)$$

Подставляем известные значения $a_1=37$ и $d=37$:

$$a_n=37+37(n-1)=37+37n-37=37n$$

Таким образом, общее выражение для чисел, кратных 37, будет:

$$a_n=37n$$

Это и есть формула для любого числа, кратного 37 в нашей последовательности.

2) Наименьшее трехзначное число

Теперь нам нужно найти наименьшее трехзначное число, которое делится на 37. Трехзначные числа — это числа от 100 до 999.

Чтобы найти наименьшее число, которое делится на 37 и при этом является трехзначным, нужно решить неравенство:

$$37n>99$$

Решим это неравенство для $n$:

$$n>\frac{99}{37}\approx 2.67$$

Таким образом, $n$ должно быть больше 2.67, что означает, что минимальное целое значение для $n$ — это 3.

Подставляем $n=3$ в формулу $a_n=37n$:

$$a_3=37\cdot 3=111$$

Таким образом, наименьшее трехзначное число, кратное 37, — это 111.

Далее находим следующее число, кратное 37:

$$a_{n+1}=111+37=148$$

Ответ для этого пункта:

• Наименьшее трехзначное число, кратное 37: 111.
• Следующее за ним: 148.

3) Наибольшее трехзначное число

Теперь нам нужно найти наибольшее трехзначное число, которое делится на 37. Мы ищем максимальное значение $n$, при котором $37n$ остается трехзначным числом.

Для этого решаем неравенство:

$$37n<1000$$

Решаем его для $n$:

$$n<\frac{1000}{37}\approx 27.03$$

Таким образом, максимальное целое значение для $n$ — это 27.

Подставляем $n=27$ в формулу $a_n=37n$:

$$a_{27}=37\cdot 27=999$$

Это максимальное трехзначное число, кратное 37.

Теперь находим предыдущее число, кратное 37:

$$a_{n-1}=999-37=962$$

Ответ для этого пункта:

• Наибольшее трехзначное число, кратное 37: 999.
• Предыдущее за ним: 962.

4) Числа, не делящиеся на 37

Теперь нужно выяснить, среди 36 подряд идущих трехзначных чисел, сколько чисел не делятся на 37. Известно, что между любыми двумя числами, кратными 37, находится 36 чисел.

Пусть $111$ — это наименьшее трехзначное число, кратное 37, а $999$ — наибольшее. Рассмотрим два отрезка:

1. Числа между $111$ и $147$ (включая их). Все эти числа не делятся на 37.
2. Числа между $963$ и $998$ (включая их). Все эти числа также не делятся на 37.

Ответ: среди 36 подряд идущих трехзначных чисел, среди которых нет чисел, делящихся на 37, могут быть числа: 112, 113, 114, …, 146, 147 и 963, 964, 965, …, 997, 998.

Таким образом, единственные возможные числа, которые не делятся на 37 среди этих отрезков, — это 112 и 963.

Ответ для этого пункта:

• 112 и 963 — это те числа, которые могут быть среди 36 подряд идущих чисел, не делящихся на 37.

Итоговые ответы:

1. Уравнение чисел, кратных 37: $a_n=37n$.
2. Наименьшее трехзначное число, кратное 37: 111.
3. Наибольшее трехзначное число, кратное 37: 999.
4. Числа среди 36 подряд идущих трехзначных чисел, которые не делятся на 37: 112 и 963.