ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.32 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Рассмотрите два предложения:

а) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 3 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 3;

б) сумма квадратов двух натуральных чисел делится на 5 тогда и только тогда, когда каждое из этих чисел делится на 5.

Докажите, что из этих утверждений верно только одно.

Первая часть обоих утверждений верна:

Если $m:p$ и $n:p$, тогда $(m^2+n^2):p$;

$m:p$, значит $m=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

$n:p$, значит $n=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{m^2+n^2}{p}=\frac{p^2{q}_1^2+p^2{q}_2^2}{p}=\frac{p^2(q_1^2+q_2^2)}{p}=p(q_1^2+q_2^2)\in \mathbb{N};$$

Докажем обратные утверждения:

а) Если $(m^2+n^2):3$, тогда $m:3$ и $n:3$;

1. Если число не кратно трем, то при делении на три оно дает в остатке 1 или 2, тогда при возведении в квадрат остаток также будет возведен в квадрат и составит 1 или 4, то есть в каждом случае единицу;
2. Тогда сумма квадратов двух таких чисел при делении на три даст в остатке два;
3. Таким образом, только сумма квадратов двух чисел, кратных трем, при делении на три может дать остаток, равный нулю;

б) Если $(m^2+n^2):5$, тогда $m:5$ и $n:5$;

Утверждение неверно, можно привести пример чисел, которые не кратны пяти, но сумма их квадратов делится на пять без остатка:

$m=2\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$ и $n=1\mathrm{̸}\mathrm{⋮}5$;

$$\frac{m^2+n^2}{5}=\frac{2^2+1^2}{5}=\frac{4+1}{5}=\frac{5}{5}=1\in \mathbb{N};$$

Ответ: верно утверждение а).

Теорема:
Если $m$ делится на $p$ и $n$ делится на $p$, то $(m^2+n^2)$ делится на $p$.

Доказательство:

Пусть $m:p$ и $n:p$, это означает, что:

• $m=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$,
• $n=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$.

Теперь вычислим $m^2+n^2$:

$$m^2+n^2=(p{q}_1{)}^2+(p{q}_2{)}^2=p^2{q}_1^2+p^2{q}_2^2=p^2(q_1^2+q_2^2)\mathrm{.}$$

Теперь разделим $m^2+n^2$ на $p$:

$$\frac{m^2+n^2}{p}=\frac{p^2(q_1^2+q_2^2)}{p}=p(q_1^2+q_2^2)\mathrm{.}$$

Так как $q_1^2+q_2^2$ — это целое число, то результат $p(q_1^2+q_2^2)$ является целым числом. Следовательно, $m^2+n^2$ делится на $p$.

Докажем обратные утверждения:

а) Если $(m^2+n^2):3$, тогда $m:3$ и $n:3$.

Теорема:
Если сумма квадратов двух чисел делится на 3, то каждое из этих чисел делится на 3.

Доказательство:

Рассмотрим остатки при делении на 3:
Число при делении на 3 может дать остаток 0, 1 или 2. Теперь рассмотрим, как эти остатки ведут себя при возведении в квадрат:

• Если $m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, то $m^2\equiv 0^2=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$.
• Если $m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, то $m^2\equiv 1^2=1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$.
• Если $m\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, то $m^2\equiv 2^2=4\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$.

Таким образом, квадрат любого числа, которое не делится на 3, будет давать остаток 1 при делении на 3.

Теперь рассмотрим сумму квадратов:
Пусть $m$ и $n$ — два числа. Если $m^2+n^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, то это означает, что остаток от деления суммы квадратов на 3 равен нулю. Рассмотрим возможные варианты остатков:

• Если оба числа $m$ и $n$ не делятся на 3, то $m^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ и $n^2\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, тогда $m^2+n^2\equiv 1+1=2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$.
• Если одно из чисел делится на 3, то $m^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, а другое даёт остаток 1. В этом случае $m^2+n^2\equiv 0+1=1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$.

В любом случае, если сумма квадратов $m^2+n^2\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$, то это возможно только если оба числа $m$ и $n$ делятся на 3. В противном случае, остаток от деления суммы квадратов не может быть равен нулю.

Таким образом, если $(m^2+n^2)$ делится на 3, то и $m$, и $n$ должны делиться на 3.

Ответ: Утверждение а) верно.

б) Если $(m^2+n^2):5$, тогда $m:5$ и $n:5$.

Теорема:
Утверждение, что если сумма квадратов двух чисел делится на 5, то каждое из этих чисел делится на 5, неверно.

Доказательство:

Рассмотрим остатки при делении на 5:
Число при делении на 5 может дать остаток 0, 1, 2, 3 или 4. Теперь рассмотрим, как эти остатки ведут себя при возведении в квадрат:

• Если $m\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$, то $m^2\equiv 0^2=0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$.
• Если $m\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$, то $m^2\equiv 1^2=1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$.
• Если $m\equiv 2(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$, то $m^2\equiv 2^2=4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$.
• Если $m\equiv 3(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$, то $m^2\equiv 3^2=9\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$.
• Если $m\equiv 4(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$, то $m^2\equiv 4^2=16\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}5)$.

Таким образом, возможные квадраты при делении на 5 могут быть 0, 1 или 4.

Пример чисел:
Рассмотрим два числа, которые не делятся на 5, но сумма их квадратов делится на 5:

• Пусть $m=2$ и $n=1$. Оба числа не делятся на 5.
• Рассчитаем сумму их квадратов:

$$m^2+n^2=2^2+1^2=4+1=5.$$$$\frac{5}{5}=1\in \mathbb{N}\mathrm{.}$$

Таким образом, сумма квадратов делится на 5, но ни $m$, ни $n$ не делятся на 5.

Таким образом, утверждение, что если $m^2+n^2$ делится на 5, то $m$ и $n$ делятся на 5, неверно.

Ответ: Утверждение б) неверно.

Итоговый ответ:

• Утверждение а) верно.
• Утверждение б) неверно.