ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.44 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

б) остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5.

а) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2;

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 10q + p;$$

где $q$ — любое натуральное число, а $p$ — любая цифра (она же является последней цифрой числа $n$).

Найдем отношение:

$$\frac{n}{2} = \frac{10q + p}{2} = 5q + \frac{p}{2}.$$

Из формулы очевидно, что остаток от деления числа $n$ на два равен остатку от деления числа $p$ на два, что и требовалось доказать.

б) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5;

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 10q + p;$$

где $q$ — любое натуральное число, а $p$ — любая цифра (она же является последней цифрой числа $n$).

Найдем отношение:

$$\frac{n}{5} = \frac{10q + p}{5} = 2q + \frac{p}{5}.$$

Из формул очевидно, что остаток от деления числа $n$ на 5 равен остатку от деления числа $p$ на 5, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 2 равен остатку от деления его последней цифры на 2:

Шаг 1: Представление числа в виде суммы

Любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 10q + p,$$

где:

• $q$ — целая часть числа $n$, то есть число, полученное при делении $n$ на 10 (в данном случае, это все цифры числа, кроме последней),
• $p$ — последняя цифра числа $n$, которая и определяет остаток при делении на 2.

Это разложение следующее:

• $q$ — это число, которое состоит из всех цифр числа $n$, кроме последней цифры,
• $p$ — это последняя цифра числа $n$, которая варьируется от 0 до 9.

Шаг 2: Деление на 2

Рассмотрим, как делится $n = 10q + p$ на 2:

$$\frac{n}{2} = \frac{10q + p}{2} = \frac{10q}{2} + \frac{p}{2}.$$

• $\frac{10q}{2} = 5q$ — это целое число, так как 10 делится на 2.
• Остаток от деления числа $n$ на 2 будет определяться только остатком от деления $p$ на 2, так как $\frac{10q}{2}$ делится на 2 без остатка.

Таким образом:

$$\frac{n}{2} = 5q + \frac{p}{2}.$$

Шаг 3: Остаток от деления

Очевидно, что остаток от деления $n$ на 2 зависит только от $p$. Это потому, что целая часть $5q$ делится на 2 без остатка.

• Если $p$ — четная цифра (0, 2, 4, 6, 8), то остаток от деления $p$ на 2 равен 0.
• Если $p$ — нечетная цифра (1, 3, 5, 7, 9), то остаток от деления $p$ на 2 равен 1.

Таким образом, остаток от деления $n$ на 2 равен остатку от деления последней цифры $p$ на 2.

Ответ:
Остаток от деления $n$ на 2 равен остатку от деления последней цифры числа $n$ на 2.

б) Доказать, что остаток от деления натурального числа на 5 равен остатку от деления его последней цифры на 5:

Шаг 1: Представление числа в виде суммы

Как и в предыдущем случае, любое натуральное число $n$ можно представить в виде:

$$n = 10q + p,$$

где:

• $q$ — целая часть числа $n$, то есть число, которое получается при делении $n$ на 10,
• $p$ — последняя цифра числа $n$, которая определяет остаток при делении на 5.

Шаг 2: Деление на 5

Рассмотрим, как делится $n = 10q + p$ на 5:

$$\frac{n}{5} = \frac{10q + p}{5} = \frac{10q}{5} + \frac{p}{5}.$$

• $\frac{10q}{5} = 2q$ — это целое число, так как 10 делится на 5.
• Остаток от деления числа $n$ на 5 зависит только от остатка от деления $p$ на 5.

Таким образом:

$$\frac{n}{5} = 2q + \frac{p}{5}.$$

Шаг 3: Остаток от деления

Очевидно, что остаток от деления $n$ на 5 зависит только от $p$. Это потому, что целая часть $2q$ делится на 5 без остатка.

• Если $p$ — число, которое делится на 5 (то есть $p = 0$ или $p = 5$), то остаток от деления $p$ на 5 равен 0.
• Если $p = 1$, остаток от деления $p$ на 5 равен 1.
• Если $p = 2$, остаток от деления $p$ на 5 равен 2.
• Если $p = 3$, остаток от деления $p$ на 5 равен 3.
• Если $p = 4$, остаток от деления $p$ на 5 равен 4.

Таким образом, остаток от деления $n$ на 5 равен остатку от деления последней цифры $p$ на 5.

Ответ:
Остаток от деления $n$ на 5 равен остатку от деления последней цифры числа $n$ на 5.