ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.47 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите остаток от деления на 9 числа:

а) 1 234 567;

б) 55 555 155 555.

1. Девяти кратно то число, сумма цифр которого делится на девять;
2. Если увеличить число $n$ на единицу, то одна из его цифр увеличится на единицу, а некоторые из других цифр могут уменьшиться на девять;
3. Значит остаток от деления суммы цифр числа $n$ на 9 увеличится на 1;
4. Таким образом, остаток от деления натурального числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9;

а) Остаток от деления на 9 числа 1 234 567:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28;$$ $$2 + 8 = 10;$$ $$\frac{10}{9} = \frac{9 + 1}{9} = 1 + \frac{1}{9};$$

Ответ: остаток 1.

б) Остаток от деления на 9 числа 55 555 155 555:

$$5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 51;$$ $$5 + 1 = 6;$$

Ответ: остаток 6.

1. Теоретическое доказательство

1) Девяти кратно то число, сумма цифр которого делится на девять.

Это одно из свойств числа 9. Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Например, для числа $123$, сумма его цифр $1 + 2 + 3 = 6$, а так как $6$ не делится на 9, значит, число $123$ не делится на 9.

2) Увеличение числа на единицу:

Когда мы увеличиваем число на 1, происходит следующее:

• Одна из цифр числа увеличивается на 1.
• Некоторые цифры могут уменьшиться на 9, если происходит перенос из одной позиции в другую (например, увеличение 999 на 1 дает 1000, где единицы в старшей позиции увеличиваются, а все цифры в младших позициях становятся нулями).

3) Сумма цифр и остаток от деления на 9:

Каждое число, которое делится на 9, имеет свойство, что его сумма цифр также делится на 9. Например, для числа $123$, его сумма цифр $1 + 2 + 3 = 6$ не делится на 9, а само число $123 \div 9 = 13$, что подтверждает это правило.

4) Вывод:

Таким образом, остаток от деления числа $n$ на 9 зависит только от суммы его цифр. Это означает, что остаток от деления натурального числа на 9 равен остатку от деления суммы его цифр на 9.

а) Остаток от деления на 9 числа $1 234 567$:

Шаг 1: Сумма цифр числа

Число: $1 234 567$.

Посчитаем сумму цифр этого числа:

$$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 28.$$

Шаг 2: Сложим цифры суммы

Теперь сложим цифры полученной суммы:

$$2 + 8 = 10.$$

Шаг 3: Нахождение остатка

Теперь находим остаток от деления $10$ на 9:

$$\frac{10}{9} = 1 \quad \text{(целая часть)} \quad \text{и остаток} \quad 10 — 9 = 1.$$

Ответ: остаток 1.

б) Остаток от деления на 9 числа $55 555 155 555$:

Шаг 1: Сумма цифр числа

Число: $55 555 155 555$.

Посчитаем сумму цифр этого числа:

$$5 + 5 + 5 + 5 + 5 + 1 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5 = 51.$$

Шаг 2: Сложим цифры суммы

Теперь сложим цифры полученной суммы:

$$5 + 1 = 6.$$

Шаг 3: Нахождение остатка

Теперь находим остаток от деления $6$ на 9:

$$\frac{6}{9} = 0 \quad \text{(целая часть)} \quad \text{и остаток} \quad 6 — 0 = 6.$$

Ответ: остаток 6.

Итоговые ответы:

• а) Остаток от деления числа $1 234 567$ на 9 равен 1.
• б) Остаток от деления числа $55 555 155 555$ на 9 равен 6.

Подробное объяснение:

1. Для нахождения остатка от деления числа на 9 используется важное правило, которое заключается в том, что сумма цифр числа, если она делится на 9, то и само число делится на 9. Поэтому для поиска остатка от деления на 9 можно всегда найти остаток от деления суммы цифр числа на 9.
2. В обоих примерах мы сначала находим сумму цифр числа, затем, если эта сумма состоит из нескольких цифр, складываем их, чтобы получить одно число, и, наконец, находим остаток от деления этого числа на 9.
3. Таким образом, можно легко вычислять остаток от деления числа на 9, используя всего лишь его цифры, что существенно упрощает задачу.