ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.5 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите утверждение:

а) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число p, то (n + m) i p и (n — m) : р.*

б) Если каждое из натуральных чисел n и m делится на натуральное число ру а Xt у — произвольные натуральные числа, то (nx ± ту) : р.

в) Если натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное m не делится на p, то ни сумма n + m, ни разность n — m не делятся на р.

г) Если сумма натуральных чисел и каждое ее слагаемое, кроме последнего, делятся на некоторое натуральное число p, то и это последнее слагаемое делится на р.

a) Доказать, что если

$n:p$ и $m:p$, то тогда $(n+m):p$ и $(n-m):p$;
$n:p$, значит $n=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;
$m:p$, значит $m=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{n+m}{p}=\frac{p{q}_1+p{q}_2}{p}=\frac{p(q_1+q_2)}{p}=q_1+q_2\in \mathbb{N};$$$$\frac{n-m}{p}=\frac{p{q}_1-p{q}_2}{p}=\frac{p(q_1-q_2)}{p}=q_1-q_2\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

б) Доказать, что если $n:p$ и $m:p$, $a,x,y\in \mathbb{N}$, то $(nx\pm my):p$;
$n:p$, значит $n=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;
$m:p$, значит $m=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{nx\pm my}{p}=\frac{p{q}_{1}x}{p}\pm \frac{p{q}_{2}y}{p}=q_{1}x\pm q_{2}y\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

в) Доказать, что если $n:p$ и $m:p$, то тогда $(n+m)\equiv ̸p$ и $(n-m)\equiv ̸p$;
$n:p$, значит $n=p{q}_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;
Допустим, что $(n+m):p$, значит $(n+m)=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$, тогда:

$$m=n-p{q}_2=p{q}_2-p{q}_1\in \mathbb{N}(q_2>q_1);$$

Допустим, что $(n-m):p$, значит $(n-m)=p{q}_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$, тогда:

$$m=n-p{q}_2=p{q}_1-p{q}_2\in \mathbb{N}(q_1>q_2);$$

Получается, что $m:p$, что противоречит условию задачи, значит $(n+m)\equiv ̸p$ и $(n-m)\equiv ̸p$, что и требовалось доказать.

г) Доказать, что если $a_1,a_2,\dots ,a_n:p$ и $(a_1+\cdots +a_n+m):p$, то тогда $m:p$;
$a_n:p$, значит $a_n=p{q}_n$, где $q_n\in \mathbb{N}$;

$$(a_1+\cdots +a_n+m):p,\text{значит}(a_1+\cdots +a_n+m)=pq,\text{где}q\in \mathbb{N};$$$$a_1+\cdots +a_n+m=pq-p{q}_n=p(q-q_1-\cdots -q_n)\in \mathbb{N};$$

Следовательно, $m:p$, что и требовалось доказать.

а) Доказать, что если $n:p$ и $m:p$, то тогда $(n+m):p$ и $(n-m):p$.

Дано:

• $n:p$ означает, что $n$ делится на $p$.
• $m:p$ означает, что $m$ делится на $p$.

Нужно доказать:

• $n+m$ делится на $p$.
• $n-m$ делится на $p$.

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$:

Так как $n:p$, существует такое натуральное число $q_1$, что:

$$n=p{q}_1$$

Так как $m:p$, существует такое натуральное число $q_2$, что:

$$m=p{q}_2$$

Посмотрим на выражение $n+m$:

Подставим выражения для $n$ и $m$:

$$n+m=p{q}_1+p{q}_2=p(q_1+q_2)$$

Мы видим, что сумма $n+m$ равна $p$ умноженному на сумму $q_1+q_2$. Так как $q_1$ и $q_2$ — натуральные числа, их сумма также является натуральным числом. Следовательно:

$$n+m=p(q_1+q_2)$$

То есть, $n+m$ делится на $p$.

Посмотрим на выражение $n-m$:

Аналогично, подставим выражения для $n$ и $m$:

$$n-m=p{q}_1-p{q}_2=p(q_1-q_2)$$

Мы видим, что разность $n-m$ равна $p$ умноженному на разницу $q_1-q_2$. Так как $q_1$ и $q_2$ — натуральные числа, их разность также является целым числом. Следовательно:

$$n-m=p(q_1-q_2)$$

То есть, $n-m$ также делится на $p$.

Таким образом, мы доказали, что если $n:p$ и $m:p$, то $(n+m):p$ и $(n-m):p$.

б) Доказать, что если $n:p$ и $m:p$, $a,x,y\in \mathbb{N}$, то $(nx\pm my):p$.

Дано:

• $n:p$ означает, что $n$ делится на $p$.
• $m:p$ означает, что $m$ делится на $p$.
• $a,x,y$ — натуральные числа.

Нужно доказать:

• $nx\pm my$ делится на $p$.

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$:

Так как $n:p$, существует такое натуральное число $q_1$, что:

$$n=p{q}_1$$

Так как $m:p$, существует такое натуральное число $q_2$, что:

$$m=p{q}_2$$

Посмотрим на выражение $nx\pm my$:

Подставим выражения для $n$ и $m$:

$$nx=p{q}_{1}x\text{и}my=p{q}_{2}y$$

Теперь подставим эти выражения в $nx\pm my$:

$$nx\pm my=p{q}_{1}x\pm p{q}_{2}y=p(q_{1}x\pm q_{2}y)$$

Мы видим, что выражение $nx\pm my$ равно $p$, умноженному на выражение $(q_{1}x\pm q_{2}y)$. Так как $q_{1}x$ и $q_{2}y$ — целые числа, их сумма или разность тоже будет целым числом. Следовательно:

$$nx\pm my=p(q_{1}x\pm q_{2}y)$$

То есть, $nx\pm my$ делится на $p$.

Таким образом, мы доказали, что если $n:p$ и $m:p$, то $nx\pm my$ делится на $p$.

в) Доказать, что если $n:p$ и $m:p$, то $(n+m)\equiv ̸p$ и $(n-m)\equiv ̸p$.

Дано:

• $n:p$ означает, что $n$ делится на $p$.
• $m:p$ означает, что $m$ делится на $p$.

Нужно доказать:

• $n+m$ не равно $p$ и $n-m$ не равно $p$.

Решение:

Запишем $n$ и $m$ через множители $p$:

Так как $n:p$, существует такое натуральное число $q_1$, что:

$$n=p{q}_1$$

Так как $m:p$, существует такое натуральное число $q_2$, что:

$$m=p{q}_2$$

Посмотрим на выражение $n+m$:

Подставим выражения для $n$ и $m$:

$$n+m=p{q}_1+p{q}_2=p(q_1+q_2)$$

Мы видим, что сумма $n+m$ равна $p$, умноженному на сумму $q_1+q_2$. Так как $q_1$ и $q_2$ — натуральные числа, их сумма всегда больше 1. Следовательно:

$$n+m=p(q_1+q_2)$$

Таким образом, $n+m$ не может быть равно $p$, так как сумма $q_1+q_2$ всегда больше 1.

Посмотрим на выражение $n-m$:

Подставим выражения для $n$ и $m$:

$$n-m=p{q}_1-p{q}_2=p(q_1-q_2)$$

Мы видим, что разность $n-m$ равна $p$, умноженному на разницу $q_1-q_2$. Так как $q_1$ и $q_2$ — натуральные числа, их разница всегда больше 1 (если $q_1\mathrm{\ne }{q}_2$). Следовательно:

$$n-m=p(q_1-q_2)$$

Таким образом, $n-m$ не может быть равно $p$, так как разница $q_1-q_2$ всегда больше 1.

Таким образом, мы доказали, что $(n+m)\equiv ̸p$ и $(n-m)\equiv ̸p$.

г) Доказать, что если $a_1,a_2,\dots ,a_n:p$ и $(a_1+\cdots +a_n+m):p$, то тогда $m:p$.

Дано:

• $a_1,a_2,\dots ,a_n:p$ означают, что все $a_i$ делятся на $p$.
• $(a_1+\cdots +a_n+m):p$ означает, что сумма $a_1+\cdots +a_n+m$ делится на $p$.

Нужно доказать:

• $m:p$.

Решение:

Запишем каждое $a_i$ через множитель $p$:

Так как $a_1:p$, существует такое натуральное число $q_1$, что:

$$a_1=p{q}_1$$

Аналогично для всех других $a_i$:

$$a_2=p{q}_2,a_3=p{q}_3,\dots ,a_n=p{q}_n$$

Запишем сумму $a_1+\cdots +a_n$:

Тогда сумма $a_1+a_2+\cdots +a_n$ будет равна:

$$a_1+a_2+\cdots +a_n=p{q}_1+p{q}_2+\cdots +p{q}_n=p(q_1+q_2+\cdots +q_n)$$

Таким образом, сумма $a_1+\cdots +a_n$ делится на $p$.

Посмотрим на выражение $a_1+\cdots +a_n+m$:

Из условия задачи нам известно, что $(a_1+\cdots +a_n+m):p$, то есть:

$$a_1+\cdots +a_n+m=pq$$

для некоторого $q\in \mathbb{N}$. Подставим сумму $a_1+\cdots +a_n$:

$$p(q_1+q_2+\cdots +q_n)+m=pq$$

Переносим все, что содержит $p$, на одну сторону:

$$m=p(q-q_1-q_2-\cdots -q_n)$$

Таким образом, $m$ является кратным $p$.

Мы доказали, что $m:p$.