ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.51 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите число делителей числа:

а) 24;

б) 504;

в) 180;

Общее число делителей натурального числа $a$ равно произведению:

$$N = (s_1 + 1)(s_2 + 1)(s_3 + 1) \cdot \ldots \cdot (s_n + 1);$$

где $s_n$ — показатель степени простого делителя под номером $n$;

а) Число 24;

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 24 & 2 \\ \hline 12 & 2 \\ \hline 6 & 2 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline 1 & 1 \\ \end{array}$$

$24 = 2^3 \cdot 3;$

Общее число всех делителей числа:

$N = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8;$

Ответ: 8.

б) Число 504;

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 504 & 2 \\ \hline 252 & 2 \\ \hline 126 & 2 \\ \hline 63 & 3 \\ \hline 21 & 3 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline 1 & 1 \\ \end{array}$$

$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7;$

Общее число всех делителей числа:

$N = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24;$

Ответ: 24.

в) Число 180;

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 180 & 2 \\ \hline 90 & 2 \\ \hline 45 & 3 \\ \hline 15 & 3 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 1 & 1 \\ \end{array}$$

$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5;$

Общее число всех делителей числа:

$N = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18;$

Ответ: 18.

г) Число 60;

Разложение на простые множители:

$$\begin{array}{c|c} 60 & 2 \\ \hline 30 & 2 \\ \hline 15 & 3 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 1 & 1 \\ \end{array}$$

$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5;$

Общее число всех делителей числа:

$N = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12;$

Ответ: 12.

Общее число делителей натурального числа $a$ можно найти, если разложить его на простые множители. Формула для нахождения числа делителей следующая:

$$N = (s_1 + 1)(s_2 + 1)(s_3 + 1) \cdot \ldots \cdot (s_n + 1),$$

где:

• $s_1, s_2, \ldots, s_n$ — показатели степени простых делителей в разложении числа $a$,
• $N$ — общее число делителей числа $a$.

Для каждого простого множителя $p_i^{s_i}$, степень $s_i$ увеличивается на 1, так как количество делителей для простого числа $p_i^{s_i}$ равно $s_i + 1$ (включая все степени от $p_i^0$ до $p_i^{s_i}$).

Теперь давайте разберем каждое число из задачи, разложив его на простые множители и используя формулу для вычисления общего числа делителей.

а) Число 24

Шаг 1: Разложение на простые множители

Начнем с разложения числа 24 на простые множители. Для этого будем поочередно делить его на простые числа:

• 24 делится на 2:

  $$24 \div 2 = 12.$$

• 12 делится на 2:

  $$12 \div 2 = 6.$$

• 6 делится на 2:

  $$6 \div 2 = 3.$$

• 3 делится на 3:

  $$3 \div 3 = 1.$$

Итак, разложение числа 24 на простые множители:

$$24 = 2^3 \cdot 3.$$

Шаг 2: Нахождение общего числа делителей

В разложении $24 = 2^3 \cdot 3^1$, показатели степени простых чисел $2$ и $3$ равны 3 и 1 соответственно. Теперь применим формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (3 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 2 = 8.$$

Ответ: Число 24 имеет 8 делителей.

б) Число 504

Шаг 1: Разложение на простые множители

Для числа 504 выполняем поочередное деление:

• 504 делится на 2:

  $$504 \div 2 = 252.$$

• 252 делится на 2:

  $$252 \div 2 = 126.$$

• 126 делится на 2:

  $$126 \div 2 = 63.$$

• 63 делится на 3:

  $$63 \div 3 = 21.$$

• 21 делится на 3:

  $$21 \div 3 = 7.$$

• 7 делится на 7:

  $$7 \div 7 = 1.$$

Разложение числа 504 на простые множители:

$$504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7.$$

Шаг 2: Нахождение общего числа делителей

В разложении $504 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^1$, показатели степеней простых чисел $2$, $3$ и $7$ равны 3, 2 и 1 соответственно. Применим формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24.$$

Ответ: Число 504 имеет 24 делителя.

в) Число 180

Шаг 1: Разложение на простые множители

Для числа 180 выполняем поочередное деление:

• 180 делится на 2:

  $$180 \div 2 = 90.$$

• 90 делится на 2:

  $$90 \div 2 = 45.$$

• 45 делится на 3:

  $$45 \div 3 = 15.$$

• 15 делится на 3:

  $$15 \div 3 = 5.$$

• 5 делится на 5:

  $$5 \div 5 = 1.$$

Разложение числа 180 на простые множители:

$$180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5.$$

Шаг 2: Нахождение общего числа делителей

В разложении $180 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1$, показатели степеней простых чисел $2$, $3$ и $5$ равны 2, 2 и 1 соответственно. Применим формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (2 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 3 \cdot 2 = 18.$$

Ответ: Число 180 имеет 18 делителей.

г) Число 60

Шаг 1: Разложение на простые множители

Для числа 60 выполняем поочередное деление:

• 60 делится на 2:

  $$60 \div 2 = 30.$$

• 30 делится на 2:

  $$30 \div 2 = 15.$$

• 15 делится на 3:

  $$15 \div 3 = 5.$$

• 5 делится на 5:

  $$5 \div 5 = 1.$$

Разложение числа 60 на простые множители:

$$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5.$$

Шаг 2: Нахождение общего числа делителей

В разложении $60 = 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^1$, показатели степеней простых чисел $2$, $3$ и $5$ равны 2, 1 и 1 соответственно. Применим формулу для нахождения числа делителей:

$$N = (2 + 1)(1 + 1)(1 + 1) = 3 \cdot 2 \cdot 2 = 12.$$

Ответ: Число 60 имеет 12 делителей.

Итоговые ответы:

• а) Число 24 имеет 8 делителей.
• б) Число 504 имеет 24 делителя.
• в) Число 180 имеет 18 делителей.
• г) Число 60 имеет 12 делителей.