ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.55 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

He пользуясь калькулятором, определите, является ли данное число квадратом или кубом некоторого натурального числа:

а) 75 625;

б) 614 656;

в) 31 104;

г) 45 212 176.

Определить, является ли квадратом или кубом некоторого числа:

а) Число 75 625:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline 75 \, 625 & 5 \\ \hline 15 \, 125 & 5 \\ \hline 3 \, 025 & 5 \\ \hline 605 & 5 \\ \hline 121 & 11 \\ \hline 11 & 11 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$ $$75 \, 625 = 5^4 \cdot 11^2;$$

Ответ: квадрат — да; куб — нет.

б) Число 614 656:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline 614 \, 656 & 2 \\ \hline 307 \, 328 & 2 \\ \hline 153 \, 664 & 2 \\ \hline 76 \, 832 & 2 \\ \hline 38 \, 416 & 2 \\ \hline 19 \, 208 & 2 \\ \hline 9 \, 604 & 2 \\ \hline 4 \, 802 & 2 \\ \hline 2 \, 401 & 7 \\ \hline 343 & 7 \\ \hline 49 & 7 \\ \hline 7 & 7 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$ $$614 \, 656 = 2^8 \cdot 7^4;$$

Ответ: квадрат — да; куб — нет.

в) Число 31 104:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline 31 \, 104 & 2 \\ \hline 15 \, 552 & 2 \\ \hline 7 \, 776 & 2 \\ \hline 3 \, 888 & 2 \\ \hline 1 \, 944 & 2 \\ \hline 972 & 2 \\ \hline 486 & 2 \\ \hline 243 & 3 \\ \hline 81 & 3 \\ \hline 27 & 3 \\ \hline 9 & 3 \\ \hline 3 & 3 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$ $$31 \, 104 = 2^7 \cdot 3^5;$$

Ответ: квадрат — нет; куб — нет.

г) Число 216 000:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline 216 \, 000 & 2 \\ \hline 108 \, 000 & 2 \\ \hline 54 \, 000 & 2 \\ \hline 27 \, 000 & 2 \\ \hline 13 \, 500 & 2 \\ \hline 6 \, 750 & 2 \\ \hline 3 \, 375 & 3 \\ \hline 1 \, 125 & 3 \\ \hline 375 & 3 \\ \hline 125 & 5 \\ \hline 25 & 5 \\ \hline 5 & 5 \\ \hline 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$ $$216 \, 000 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^3;$$

Ответ: квадрат — нет; куб — да.

Задача заключается в том, чтобы проверить, является ли данное число квадратом или кубом некоторого числа. Чтобы это сделать, необходимо разложить число на простые множители и проанализировать показатели степеней этих простых множителей.

Общее правило:

1. Число является квадратом, если все показатели степеней в разложении на простые множители четные.
2. Число является кубом, если все показатели степеней в разложении на простые множители делятся на 3.

а) Число 75 625

Шаг 1: Разложение на простые множители

Начнем разбирать число $75 \, 625$ на простые множители.

• $75 \, 625$ делится на 5:

  $$75 \, 625 \div 5 = 15 \, 125.$$

• $15 \, 125$ делится на 5:

  $$15 \, 125 \div 5 = 3 \, 025.$$

• $3 \, 025$ делится на 5:

  $$3 \, 025 \div 5 = 605.$$

• $605$ делится на 5:

  $$605 \div 5 = 121.$$

• $121$ делится на 11:

  $$121 \div 11 = 11.$$

• $11$ делится на 11:

  $$11 \div 11 = 1.$$

Таким образом, разложение числа $75 \, 625$ на простые множители:

$$75 \, 625 = 5^4 \cdot 11^2.$$

Шаг 2: Проверка на квадрат и куб

• Показатели степеней $5^4$ и $11^2$ оба четные, поэтому число является квадратом.
• Однако, для того чтобы число было кубом, показатели степеней должны быть кратны 3. Здесь $5^4$ и $11^2$ не кратны 3, поэтому число не является кубом.

Ответ: Квадрат — да, куб — нет.

б) Число 614 656

Шаг 1: Разложение на простые множители

Теперь разберем число $614 \, 656$.

• $614 \, 656$ делится на 2:

  $$614 \, 656 \div 2 = 307 \, 328.$$

• $307 \, 328$ делится на 2:

  $$307 \, 328 \div 2 = 153 \, 664.$$

• $153 \, 664$ делится на 2:

  $$153 \, 664 \div 2 = 76 \, 832.$$

• $76 \, 832$ делится на 2:

  $$76 \, 832 \div 2 = 38 \, 416.$$

• $38 \, 416$ делится на 2:

  $$38 \, 416 \div 2 = 19 \, 208.$$

• $19 \, 208$ делится на 2:

  $$19 \, 208 \div 2 = 9 \, 604.$$

• $9 \, 604$ делится на 2:

  $$9 \, 604 \div 2 = 4 \, 802.$$

• $4 \, 802$ делится на 2:

  $$4 \, 802 \div 2 = 2 \, 401.$$

• $2 \, 401$ делится на 7:

  $$2 \, 401 \div 7 = 343.$$

• $343$ делится на 7:

  $$343 \div 7 = 49.$$

• $49$ делится на 7:

  $$49 \div 7 = 7.$$

• $7$ делится на 7:

  $$7 \div 7 = 1.$$

Разложение числа $614 \, 656$ на простые множители:

$$614 \, 656 = 2^8 \cdot 7^4.$$

Шаг 2: Проверка на квадрат и куб

• Показатели степеней $2^8$ и $7^4$ оба четные, поэтому число является квадратом.
• Однако, для того чтобы число было кубом, показатели степеней должны быть кратны 3. Здесь $2^8$ и $7^4$ не кратны 3, поэтому число не является кубом.

Ответ: Квадрат — да, куб — нет.

в) Число 31 104

Шаг 1: Разложение на простые множители

Теперь разберем число $31 \, 104$.

• $31 \, 104$ делится на 2:

  $$31 \, 104 \div 2 = 15 \, 552.$$

• $15 \, 552$ делится на 2:

  $$15 \, 552 \div 2 = 7 \, 776.$$

• $7 \, 776$ делится на 2:

  $$7 \, 776 \div 2 = 3 \, 888.$$

• $3 \, 888$ делится на 2:

  $$3 \, 888 \div 2 = 1 \, 944.$$

• $1 \, 944$ делится на 2:

  $$1 \, 944 \div 2 = 972.$$

• $972$ делится на 2:

  $$972 \div 2 = 486.$$

• $486$ делится на 2:

  $$486 \div 2 = 243.$$

• $243$ делится на 3:

  $$243 \div 3 = 81.$$

• $81$ делится на 3:

  $$81 \div 3 = 27.$$

• $27$ делится на 3:

  $$27 \div 3 = 9.$$

• $9$ делится на 3:

  $$9 \div 3 = 3.$$

• $3$ делится на 3:

  $$3 \div 3 = 1.$$

Разложение числа $31 \, 104$ на простые множители:

$$31 \, 104 = 2^7 \cdot 3^5.$$

Шаг 2: Проверка на квадрат и куб

• Для того чтобы число было квадратом, все показатели степеней должны быть четными. Здесь $2^7$ и $3^5$ не являются четными, поэтому число не является квадратом.
• Для того чтобы число было кубом, все показатели степеней должны быть кратны 3. Здесь $2^7$ и $3^5$ не кратны 3, поэтому число не является кубом.

Ответ: Квадрат — нет, куб — нет.

г) Число 216 000

Шаг 1: Разложение на простые множители

Разберем число $216 \, 000$.

• $216 \, 000$ делится на 2:

  $$216 \, 000 \div 2 = 108 \, 000.$$

• $108 \, 000$ делится на 2:

  $$108 \, 000 \div 2 = 54 \, 000.$$

• $54 \, 000$ делится на 2:

  $$54 \, 000 \div 2 = 27 \, 000.$$

• $27 \, 000$ делится на 2:

  $$27 \, 000 \div 2 = 13 \, 500.$$

• $13 \, 500$ делится на 2:

  $$13 \, 500 \div 2 = 6 \, 750.$$

• $6 \, 750$ делится на 2:

  $$6 \, 750 \div 2 = 3 \, 375.$$

• $3 \, 375$ делится на 3:

  $$3 \, 375 \div 3 = 1 \, 125.$$

• $1 \, 125$ делится на 3:

  $$1 \, 125 \div 3 = 375.$$

• $375$ делится на 3:

  $$375 \div 3 = 125.$$

• $125$ делится на 5:

  $$125 \div 5 = 25.$$

• $25$ делится на 5:

  $$25 \div 5 = 5.$$

• $5$ делится на 5:

  $$5 \div 5 = 1.$$

Разложение числа $216 \, 000$ на простые множители:

$$216 \, 000 = 2^6 \cdot 3^3 \cdot 5^3.$$

Шаг 2: Проверка на квадрат и куб

• Для того чтобы число было квадратом, все показатели степеней должны быть четными. Здесь $2^6$, $3^3$ и $5^3$ не все четные, поэтому число не является квадратом.
• Для того чтобы число было кубом, все показатели степеней должны быть кратны 3. Здесь $2^6$, $3^3$ и $5^3$ все кратны 3, поэтому число является кубом.

Ответ: Квадрат — нет, куб — да.

Итоговые ответы:

• а) Квадрат — да, куб — нет.
• б) Квадрат — да, куб — нет.
• в) Квадрат — нет, куб — нет.
• г) Квадрат — нет, куб — да.