ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.57 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Найдите все пары целых чисел (x; у , удовлетворяющих уравнению:

а) 2у — x = 15;

б) 6x — у = 25;

в) 7x + 4у = 123;

г) 5х -7y = 23.

Найти все пары целых чисел $(x; y)$, удовлетворяющих уравнению:

а) $2y — x = 15$;

Решим уравнение для $y$:

$$y = \frac{15 + x}{2} = \frac{16 — 1 + x}{2} = 8 + \frac{x — 1}{2};$$

Числа $x$ и $y$ — целые, значит:

$$x — 1 = 2k;$$ $$x = 2k + 1;$$ $$y = 8 + \frac{2k + 1 — 1}{2} = 8 + \frac{2k}{2} = 8 + k;$$

Ответ: $(2k + 1; 8 + k)$.

б) $6x — y = 25$;

Решим уравнение для $x$:

$$x = \frac{25 + y}{6} = \frac{24 + 1 + y}{6} = 4 + \frac{y + 1}{6};$$

Числа $x$ и $y$ — целые, значит:

$$y + 1 = 6k;$$ $$y = 6k — 1;$$ $$x = 4 + \frac{6k — 1 + 1}{6} = 4 + \frac{6k}{6} = 4 + k;$$

Ответ: $(4 + k; 6k — 1)$.

в) $7x + 4y = 123$;

Перепишем уравнение:

$$3x + 4x + 4y = 123;$$ $$4x + 4y = 123 — 3x;$$ $$4(x + y) = 3(41 — x);$$ $$\frac{x + y}{3} = \frac{41 — x}{4};$$

$(41 — x)$ кратно 4, значит:

$$41 — x = 4n;$$ $$x = 41 — 4n;$$

Если $n = (k + 6)$, тогда:

$$x = 41 — 4(k + 6) = 41 — 4k — 24 = 17 — 4k;$$ $$y = \frac{123 — 7x}{4} = \frac{123 — 119 + 28k}{4} = 1 + 7k;$$

Ответ: $(17 — 4k; 1 + 7k)$.

г) $5x — 7y = 23$;

Перепишем уравнение:

$$5x — 7y = 28 — 5;$$ $$5x + 5 = 28 + 7y;$$ $$5(x + 1) = 7(4 + y);$$ $$\frac{x + 1}{7} = \frac{4 + y}{5};$$

$(x + 1)$ кратно 7, значит:

$$x + 1 = 7n;$$ $$x = 7n — 1;$$

Если $n = (k + 1)$, тогда:

$$x = 7(k + 1) — 1 = 7k + 7 — 1 = 7k + 6;$$ $$y = \frac{5x — 23}{7} = \frac{35k + 30 — 23}{7} = 5k — 1;$$

Ответ: $(7k + 6; 5k — 1)$.

Задача состоит в нахождении всех целых чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяют данным уравнениям. Мы будем шаг за шагом решать каждое уравнение, учитывая, что $x$ и $y$ — целые числа.

а) Уравнение: $2y — x = 15$

Шаг 1: Решаем уравнение для $y$

Исходное уравнение:

$$2y — x = 15$$

Перепишем его так, чтобы выразить $y$ через $x$:

$$2y = x + 15$$ $$y = \frac{x + 15}{2}$$

Теперь мы видим, что для того, чтобы $y$ было целым числом, $x + 15$ должно быть четным числом. Это означает, что $x$ должно быть нечетным (так как если $x$ нечетное, то $x + 15$ будет четным). Для целых чисел $x$ и $y$ получаем:

$$x = 2k + 1 \quad \text{(где \( k \) — целое число)}.$$

Шаг 2: Подставляем значение $x$ в выражение для $y$

Теперь подставим $x = 2k + 1$ в формулу для $y$:

$$y = \frac{(2k + 1) + 15}{2} = \frac{2k + 16}{2} = 8 + k.$$

Ответ: Пара решений для $(x, y)$ имеет вид:

$$(x, y) = (2k + 1, 8 + k), \quad \text{где \( k \) — целое число}.$$

б) Уравнение: $6x — y = 25$

Шаг 1: Решаем уравнение для $x$

Исходное уравнение:

$$6x — y = 25$$

Решим его для $x$:

$$6x = y + 25$$ $$x = \frac{y + 25}{6}$$

Для того чтобы $x$ было целым числом, $y + 25$ должно быть кратно 6. Это означает, что $y + 25 = 6k$ для некоторого целого числа $k$, то есть:

$$y = 6k — 25.$$

Шаг 2: Подставляем значение $y$ в выражение для $x$

Теперь подставим $y = 6k — 25$ в выражение для $x$:

$$x = \frac{6k — 25 + 25}{6} = \frac{6k}{6} = k.$$

Ответ: Пара решений для $(x, y)$ имеет вид:

$$(x, y) = (k, 6k — 25), \quad \text{где \( k \) — целое число}.$$

в) Уравнение: $7x + 4y = 123$

Шаг 1: Переписываем уравнение и выражаем $y$ через $x$

Исходное уравнение:

$$7x + 4y = 123$$

Решим его для $y$:

$$4y = 123 — 7x$$ $$y = \frac{123 — 7x}{4}$$

Для того чтобы $y$ было целым числом, выражение $123 — 7x$ должно быть делиться на 4. Мы можем записать это условие как:

$$123 — 7x \equiv 0 \pmod{4}.$$

Шаг 2: Решаем конгруэнцию

Упростим выражение:

$$123 \equiv 3 \pmod{4}, \quad 7x \equiv 3 \pmod{4}.$$

Поскольку $7 \equiv -1 \pmod{4}$, получаем:

$$-x \equiv 3 \pmod{4},$$ $$x \equiv -3 \equiv 1 \pmod{4}.$$

Таким образом, $x = 4k + 1$, где $k$ — целое число.

Шаг 3: Подставляем значение $x$ в выражение для $y$

Теперь подставим $x = 4k + 1$ в выражение для $y$:

$$y = \frac{123 — 7(4k + 1)}{4} = \frac{123 — 28k — 7}{4} = \frac{116 — 28k}{4} = 29 — 7k.$$

Ответ: Пара решений для $(x, y)$ имеет вид:

$$(x, y) = (4k + 1, 29 — 7k), \quad \text{где \( k \) — целое число}.$$

г) Уравнение: $5x — 7y = 23$

Шаг 1: Переписываем уравнение и выражаем $y$ через $x$

Исходное уравнение:

$$5x — 7y = 23$$

Решим его для $y$:

$$7y = 5x — 23$$ $$y = \frac{5x — 23}{7}$$

Для того чтобы $y$ было целым числом, выражение $5x — 23$ должно быть делиться на 7. Запишем это условие как:

$$5x — 23 \equiv 0 \pmod{7}.$$

Шаг 2: Решаем конгруэнцию

Упростим выражение:

$$5x \equiv 23 \pmod{7}.$$ $$23 \equiv 2 \pmod{7}, \quad 5x \equiv 2 \pmod{7}.$$

Найдем обратный элемент к 5 по модулю 7. Обратный элемент к 5 по модулю 7 равен 3, так как:

$$5 \cdot 3 = 15 \equiv 1 \pmod{7}.$$

Умножим обе стороны конгруэнции на 3:

$$x \equiv 3 \cdot 2 \pmod{7},$$ $$x \equiv 6 \pmod{7}.$$

Таким образом, $x = 7k + 6$, где $k$ — целое число.

Шаг 3: Подставляем значение $x$ в выражение для $y$

Теперь подставим $x = 7k + 6$ в выражение для $y$:

$$y = \frac{5(7k + 6) — 23}{7} = \frac{35k + 30 — 23}{7} = \frac{35k + 7}{7} = 5k + 1.$$

Ответ: Пара решений для $(x, y)$ имеет вид:

$$(x, y) = (7k + 6, 5k + 1), \quad \text{где \( k \) — целое число}.$$

Итоговые ответы:

• а) $(x, y) = (2k + 1, 8 + k)$, где $k$ — целое число.
• б) $(x, y) = (k, 6k — 25)$, где $k$ — целое число.
• в) $(x, y) = (4k + 1, 29 — 7k)$, где $k$ — целое число.
• г) $(x, y) = (7k + 6, 5k + 1)$, где $k$ — целое число.