ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 1.7 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Докажите, что:

а) Сумма двух четных чисел есть четное число;

б) сумма двух нечетных чисел есть четное число;

в) сумма четного и нечетного числа есть нечетное число;

г) если X, у — произвольные натуральные числа, то xy(x + у) и xy(x — у) — четные числа.

а) Если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{⋮}2$, тогда $(n+m)\mathrm{⋮}2$;

$n\mathrm{⋮}2$, значит $n=2q_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

$m\mathrm{⋮}2$, значит $m=2q_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{n+m}{2}=\frac{n}{2}+\frac{m}{2}=\frac{2q_1}{2}+\frac{2q_2}{2}=(q_1+q_2)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

б) Если $n$ и $m$ — нечетные числа, тогда $(n+m)\mathrm{⋮}2$;

$n$ — нечетное число, значит $n=2q_1+1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

$m$ — нечетное число, значит $m=2q_2+1$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{n+m}{2}=\frac{2q_1+1+2q_2+1}{2}=\frac{2(q_1+q_2+1)}{2}=(q_1+q_2+1)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

в) Если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$, тогда $(n+m)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$;

$n\mathrm{⋮}2$, значит $n=2q_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$;

$m\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$, значит $m=2q_2+1$, где $q_2\in \mathbb{N}$;

$$\frac{n+m}{2}=\frac{2q_1+2q_2+1}{2}=(q_1+q_2)+\frac{1}{2};$$

$n+m=2(q_1+q_2)+1$, где $(q_1+q_2)\in \mathbb{N}$;

Что и требовалось доказать.

г)

Если $x\mathrm{\notin }\mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $xy(x+y)\mathrm{⋮}2$ и $xy(x-y)\mathrm{⋮}2$.

Если оба числа четные:

$$x=2q_1,\text{где }{q}_1\in \mathbb{N};$$$$y=2q_2,\text{где }{q}_2\in \mathbb{N};$$$$\frac{xy(x\pm y)}{2}=\frac{2q_1\cdot 2q_2\cdot (2q_1\pm 2q_2)}{2}=4q_1{q}_2(q_1+q_2)\in \mathbb{N};$$

Если одно число нечетное, а другое четное:

$$x=2q_1+1,\text{где }{q}_1\in \mathbb{N};$$$$y=2q_2,\text{где }{q}_2\in \mathbb{N};$$$$\frac{xy(x+y)}{2}=\frac{(2q_1+1)\cdot 2q_2\cdot (2q_1+1\pm 2q_2)}{2}=$$$$=2q_2(2q_1+1)(2a_1\pm 2q_2+1)\in \mathbb{N};$$

Если оба числа нечетные:

$$x=2q_1+1,\text{где }{q}_1\in \mathbb{N};$$$$y=2q_2+1,\text{где }{q}_2\in \mathbb{N};$$$$\frac{xy(x+y)}{2}=\frac{(2q_1+1)(2q_2+1)(2q_1+1+2q_2+1)}{2}=$$$$=(2q_1+1)(2q_2+1)(q_1+q_2+1)\in \mathbb{N};$$$$\frac{xy(x-y)}{2}=\frac{(2q_1+1)(2q_2+1)(2q_1+1-2q_2-1)}{2}=$$$$=(2q_1+1)(2q_2+1)(q_1-q_2)\in \mathbb{N};$$

Что и требовалось доказать.

а) Если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{⋮}2$, тогда $(n+m)\mathrm{⋮}2$.

Предположим, что $n$ и $m$ делятся на 2. Это означает, что $n$ и $m$ — четные числа. Мы хотим доказать, что сумма $n+m$ также делится на 2, т.е. что $n+m$ — четное число.

1. Пусть $n$ делится на 2.Это значит, что $n$ можно записать как $n=2q_1$, где $q_1$ — некоторое натуральное число, то есть $q_1\in \mathbb{N}$. Другими словами, $n$ — это удвоенное какое-то натуральное число $q_1$.
2. Пусть $m$ делится на 2.Это значит, что $m$ также делится на 2, то есть $m=2q_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$. Таким образом, $m$ тоже является четным числом.
3. Сложим $n$ и $m$.Мы имеем:

   $$n+m=2q_1+2q_2\mathrm{.}$$

   Вынесем $2$ за скобки:

   $$n+m=2(q_1+q_2)\mathrm{.}$$

   Так как $q_1+q_2$ — сумма двух натуральных чисел, то $q_1+q_2\in \mathbb{N}$.

4. Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n+m=2(q_1+q_2)$, где $q_1+q_2\in \mathbb{N}$. Это означает, что $n+m$ делится на 2, так как оно является произведением 2 на натуральное число $q_1+q_2$.

Заключение: Мы доказали, что если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{⋮}2$, то $n+m\mathrm{⋮}2$.

б) Если $n$ и $m$ — нечетные числа, тогда $(n+m)\mathrm{⋮}2$.

Предположим, что $n$ и $m$ — нечетные числа, и мы хотим доказать, что их сумма также делится на 2, т.е. что $n+m$ — четное число.

1. Пусть $n$ — нечетное число.Это значит, что $n$ можно записать как $n=2q_1+1$, где $q_1\in \mathbb{N}$. То есть $n$ представляет собой удвоенное число $q_1$, увеличенное на 1.
2. Пусть $m$ — нечетное число.Это значит, что $m=2q_2+1$, где $q_2\in \mathbb{N}$, аналогично.
3. Сложим $n$ и $m$.Сложим два нечетных числа:

   $$n+m=(2q_1+1)+(2q_2+1)\mathrm{.}$$

   Упростим:

   $$n+m=2q_1+2q_2+2=2(q_1+q_2+1)\mathrm{.}$$

   Видим, что $n+m$ является произведением 2 на натуральное число $q_1+q_2+1$.

4. Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n+m=2(q_1+q_2+1)$, где $q_1+q_2+1\in \mathbb{N}$. Таким образом, $n+m$ делится на 2, так как оно является удвоенным числом.

Заключение: Мы доказали, что если $n$ и $m$ — нечетные числа, то их сумма $n+m$ делится на 2, то есть $n+m\mathrm{⋮}2$.

в) Если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$, тогда $(n+m)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$.

Предположим, что $n$ делится на 2, а $m$ не делится на 2, и мы хотим доказать, что их сумма $n+m$ не делится на 2.

1. Пусть $n$ делится на 2.Это значит, что $n=2q_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$.
2. Пусть $m$ не делится на 2.Это значит, что $m=2q_2+1$, где $q_2\in \mathbb{N}$. То есть $m$ является нечетным числом.
3. Сложим $n$ и $m$.Сложим:

   $$n+m=2q_1+(2q_2+1)=2(q_1+q_2)+1.$$

   Мы видим, что $n+m$ представляет собой удвоенное число $q_1+q_2$, увеличенное на 1.

4. Теперь проверим делимость на 2.Мы видим, что $n+m=2(q_1+q_2)+1$, то есть сумма $n+m$ не делится на 2, так как она на 1 больше, чем число, делящееся на 2. Следовательно, $n+m$ нечетное.

Заключение: Мы доказали, что если $n\mathrm{⋮}2$ и $m\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$, то сумма $n+m$ не делится на 2, то есть $(n+m)\mathrm{̸}\mathrm{⋮}2$.

г)

Если $x\mathrm{\notin }\mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, тогда $xy(x+y)\mathrm{⋮}2$ и $xy(x-y)\mathrm{⋮}2$.

Мы рассматриваем три случая: когда оба числа четные, одно четное и одно нечетное, и оба числа нечетные.

1) Если оба числа четные:

Пусть $x=2q_1$, где $q_1\in \mathbb{N}$, и $y=2q_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$.

Тогда:

$$xy(x\pm y)=(2q_1)(2q_2)(2q_1\pm 2q_2)\mathrm{.}$$

Вынесем 2:

$$xy(x\pm y)=4q_1{q}_2(q_1\pm q_2)\mathrm{.}$$

Это выражение делится на 2, так как оно содержит множитель 4, который делится на 2. Следовательно, $xy(x\pm y)$ делится на 2.

2) Если одно число четное, а другое нечетное:

Пусть $x=2q_1+1$, где $q_1\in \mathbb{N}$, и $y=2q_2$, где $q_2\in \mathbb{N}$.

Тогда:

$$xy(x+y)=(2q_1+1)(2q_2)(2q_1+1+2q_2)\mathrm{.}$$

Мы видим, что это выражение также делится на 2, так как множитель $2q_2$ является четным. Следовательно, $xy(x+y)$ делится на 2.

3) Если оба числа нечетные:

Пусть $x=2q_1+1$, где $q_1\in \mathbb{N}$, и $y=2q_2+1$, где $q_2\in \mathbb{N}$.

Тогда:

$$xy(x+y)=(2q_1+1)(2q_2+1)(2q_1+1+2q_2+1)\mathrm{.}$$

Это выражение также делится на 2, так как мы имеем произведение четного числа и других чисел.

Заключение: Мы доказали, что если $x\mathrm{\notin }\mathbb{N}$ и $y\in \mathbb{N}$, то $xy(x+y)\mathrm{⋮}2$ и $xy(x-y)\mathrm{⋮}2$ для всех рассмотренных случаев.