ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.10 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Является ли данная функция обратной по отношению к самой себе:

а) у = x;

б) у = 3х;

в) у = -x;

г) у = -x + 1?

Является ли функция обратной по отношению к самой себе:

а) $y = x$;

Функция, обратная данной:

$$x = y;$$ $$y = x;$$

Ответ: является.

б) $y = 3x$;

Функция, обратная данной:

$$x = 3y;$$ $$y = \frac{x}{3};$$

Ответ: не является.

в) $y = -x$;

Функция, обратная данной:

$$x = -y;$$ $$y = -x;$$

Ответ: является.

г) $y = -x + 1$;

Функция, обратная данной:

$$x = -y + 1;$$ $$y = 1 — x;$$

Ответ: является.

а) $y = x$

1. Нахождение обратной функции:

Функция $y = x$ является линейной функцией с угловым коэффициентом 1 и пересечением с осью $y$ в точке 0. Мы начинаем с того, что перепишем исходную функцию $y = x$ и постараемся найти ее обратную.

• Исходная функция:

  $$y = x$$

  Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

  $$x = y$$

  Таким образом, $y = x$, что является той же самой функцией. Это означает, что функция является своей собственной обратной функцией.

2. Ответ:

Так как при нахождении обратной функции мы получили ту же самую функцию $y = x$, то эта функция является обратной по отношению к самой себе.

Ответ: является.

б) $y = 3x$

1. Нахождение обратной функции:

Функция $y = 3x$ также является линейной функцией, но с угловым коэффициентом 3. Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$.

• Исходная функция:

  $$y = 3x$$

  Чтобы выразить $x$ через $y$, разделим обе части на 3:

  $$x = \frac{y}{3}$$

  Тогда обратная функция будет:

  $$y = \frac{x}{3}$$

  Это уже другая функция, отличная от исходной. Таким образом, функция $y = 3x$ не является своей обратной функцией.

2. Ответ:

Так как обратная функция отличается от исходной, функция не является обратной по отношению к самой себе.

Ответ: не является.

в) $y = -x$

1. Нахождение обратной функции:

Функция $y = -x$ также линейная, но с угловым коэффициентом -1. Для нахождения обратной функции выразим $x$ через $y$.

• Исходная функция:

  $$y = -x$$

  Перепишем это уравнение так, чтобы выразить $x$ через $y$:

  $$x = -y$$

  Таким образом, обратная функция будет:

  $$y = -x$$

  Мы видим, что эта обратная функция идентична исходной функции, что означает, что функция является своей собственной обратной функцией.

2. Ответ:

Так как обратная функция совпадает с исходной функцией $y = -x$, то эта функция является обратной по отношению к самой себе.

Ответ: является.

г) $y = -x + 1$

1. Нахождение обратной функции:

Функция $y = -x + 1$ является линейной, но с угловым коэффициентом -1 и с пересечением с осью $y$ в точке 1. Мы начинаем с того, что выражаем $x$ через $y$ и находим обратную функцию.

• Исходная функция:

  $$y = -x + 1$$

  Переносим $-x$ в другую сторону:

  $$x = -y + 1$$

  Теперь изолируем $y$:

  $$y = 1 — x$$

  Эта обратная функция совпадает с исходной функцией, но с измененным знаком в выражении. Мы видим, что это та же самая функция, но она отличается от исходной лишь знаком. Это означает, что функция является своей собственной обратной функцией.

2. Ответ:

Так как обратная функция $y = 1 — x$ совпадает с исходной функцией, эта функция является обратной по отношению к самой себе.

Ответ: является.

Итог:

1. $y = x$ — является обратной функцией по отношению к самой себе.
2. $y = 3x$ — не является обратной функцией по отношению к самой себе.
3. $y = -x$ — является обратной функцией по отношению к самой себе.
4. $y = -x + 1$ — является обратной функцией по отношению к самой себе.