ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.11 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Совпадает ли данная функция со своей обратной:

а) $y = \frac{7}{x}$;

б) $y = \frac{7}{x — 2}$;

в) $y = -\frac{8}{x}$;

г) $y = 5 — \frac{8}{x}$

Совпадает ли функция со своей обратной функцией?

а) $y = \frac{7}{x}$;

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{7}{y};$$ $$xy = 7;$$ $$y = \frac{7}{x};$$

Ответ: совпадает.

б) $y = \frac{7}{x — 2}$;

Функция, обратная данной:

$$x = \frac{7}{y — 2};$$ $$x(y — 2) = 7;$$ $$xy — 2x = 7;$$ $$xy = 7 + 2x;$$ $$y = \frac{7 + 2x}{x};$$

Ответ: не совпадает.

в) $y = -\frac{8}{x}$;

Функция, обратная данной:

$$x = -\frac{8}{y};$$ $$xy = -8;$$ $$y = -\frac{8}{x};$$

Ответ: совпадает.

г) $y = 5 — \frac{8}{x}$;

Функция, обратная данной:

$$x = 5 — \frac{8}{y};$$ $$xy = 5y — 8;$$ $$xy — 5y = -8;$$ $$y(x — 5) = -8;$$ $$y = -\frac{8}{x — 5};$$

Ответ: не совпадает.

а) $y = \frac{7}{x}$

1. Нахождение обратной функции:

Исходная функция:

$$y = \frac{7}{x}$$

Для нахождения обратной функции, нам нужно выразить $x$ через $y$. Для этого:

$$y = \frac{7}{x}$$

Теперь умножим обе части на $x$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$xy = 7$$

Изолируем $y$:

$$y = \frac{7}{x}$$

Мы видим, что результат обратной функции $y = \frac{7}{x}$ совпадает с исходной функцией.

2. Ответ:

Так как при нахождении обратной функции мы получили ту же самую функцию, функция совпадает со своей обратной функцией.

Ответ: совпадает.

б) $y = \frac{7}{x — 2}$

1. Нахождение обратной функции:

Исходная функция:

$$y = \frac{7}{x — 2}$$

Теперь выразим $x$ через $y$:

$$y = \frac{7}{x — 2}$$

Умножим обе части на $x — 2$, чтобы избавиться от знаменателя:

$$y(x — 2) = 7$$

Раскроем скобки:

$$xy — 2y = 7$$

Переносим все члены, содержащие $y$, в одну сторону:

$$xy = 7 + 2y$$

Теперь выразим $y$:

$$y = \frac{7 + 2x}{x}$$

Таким образом, обратная функция будет:

$$y = \frac{7 + 2x}{x}$$

2. Ответ:

Мы видим, что обратная функция $y = \frac{7 + 2x}{x}$ не совпадает с исходной функцией $y = \frac{7}{x — 2}$.

Ответ: не совпадает.

в) $y = -\frac{8}{x}$

1. Нахождение обратной функции:

Исходная функция:

$$y = -\frac{8}{x}$$

Для нахождения обратной функции, выразим $x$ через $y$:

$$y = -\frac{8}{x}$$

Умножим обе части на $x$:

$$xy = -8$$

Теперь выразим $y$ через $x$:

$$y = -\frac{8}{x}$$

Мы видим, что результат обратной функции $y = -\frac{8}{x}$ совпадает с исходной функцией.

2. Ответ:

Так как при нахождении обратной функции мы получили ту же самую функцию, функция совпадает со своей обратной функцией.

Ответ: совпадает.

г) $y = 5 — \frac{8}{x}$

1. Нахождение обратной функции:

Исходная функция:

$$y = 5 — \frac{8}{x}$$

Теперь выразим $x$ через $y$:

$$y = 5 — \frac{8}{x}$$

Переносим $5$ в правую часть:

$$y — 5 = -\frac{8}{x}$$

Умножим обе части на $-1$, чтобы избавиться от минуса:

$$5 — y = \frac{8}{x}$$

Теперь умножим обе части на $x$:

$$x(5 — y) = 8$$

Изолируем $y$:

$$y = \frac{8}{x — 5}$$

Таким образом, обратная функция будет:

$$y = -\frac{8}{x — 5}$$

2. Ответ:

Обратная функция $y = -\frac{8}{x — 5}$ не совпадает с исходной функцией $y = 5 — \frac{8}{x}$.

Ответ: не совпадает.

Итог:

1. $y = \frac{7}{x}$ — функция совпадает со своей обратной функцией.
2. $y = \frac{7}{x — 2}$ — функция не совпадает со своей обратной функцией.
3. $y = -\frac{8}{x}$ — функция совпадает со своей обратной функцией.
4. $y = 5 — \frac{8}{x}$ — функция не совпадает со своей обратной функцией.