ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.13 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Задайте функцию, обратную данной; постройте графики заданной и обратной функций:

а) $y=\sqrt{x+3}$

б) $y=-\sqrt{2-x}$

в) $y=\sqrt{2x-1}$

г) $y=-\sqrt{3-5x}$

а) $y = \sqrt{x + 3}$

Данная функция:

• $x_0 = -3$ и $y_0 = 0$;
• $\begin{cases} k = 1 > 0 \\ a = 1 > 0 \end{cases}$ — функция возрастает;

Функция, обратная данной:

• $x = \sqrt{y + 3}$;
• $x^2 = y + 3$;
• $y = x^2 — 3$, где $x \geq 0$;
• $x_0 = 0$ и $y_0 = -3$;

Графики функций:

Ответ: $y = x^2 — 3$, где $x \geq 0$.

б) $y = -\sqrt{2 — x}$

Данная функция:

• $x_0 = 2$ и $y_0 = 0$;
• $\begin{cases} k = -1 < 0 \\ a = -1 < 0 \end{cases}$ — функция возрастает;

Функция, обратная данной:

• $x = -\sqrt{2 — y}$;
• $x^2 = 2 — y$;
• $y = 2 — x^2$, где $x \leq 0$;
• $x_0 = 0$ и $y_0 = 2$;

Графики функций:

Ответ: $y = 2 — x^2$, где $x \leq 0$.

в) $y = \sqrt{2x — 1}$

Данная функция:

• $x_0 = 0.5$ и $y_0 = 0$;
• $\begin{cases} k = 2 > 0 \\ a = 1 > 0 \end{cases}$ — функция возрастает;

Функция, обратная данной:

• $x = \sqrt{2y — 1}$;
• $x^2 = 2y — 1$;
• $2y = x^2 + 1$;
• $y = \frac{x^2 + 1}{2}$, где $x \geq 0$;
• $x_0 = 0$ и $y_0 = 0.5$;

Графики функций:

Ответ: $y = \frac{x^2 + 1}{2}$, где $x \geq 0$.

г) $y = -\sqrt{3 — 5x}$

Данная функция:

• $x_0 = 0.6$ и $y_0 = 0$;
• $\begin{cases} k = -5 < 0 \\ a = -1 < 0 \end{cases}$ — функция возрастает;

Функция, обратная данной:

• $x = -\sqrt{3 — 5y}$;
• $x^2 = 3 — 5y$;
• $5y = 3 — x^2$;
• $y = \frac{3 — x^2}{5}$, где $x \leq 0$;
• $x_0 = 0$ и $y_0 = 0.6$;

Графики функций:

Ответ: $y = \frac{3 — x^2}{5}$, где $x \leq 0$.

а) $y = \sqrt{x + 3}$

Анализ данной функции:

• Функция задана как $y = \sqrt{x + 3}$.
• Предел области определения функции: для выражения $\sqrt{x + 3}$, чтобы значение под корнем было неотрицательным, требуется $x + 3 \geq 0$, то есть $x \geq -3$. Таким образом, область определения функции: $x \geq -3$.
• Точка пересечения с осью $y$ (когда $x = -3$): $y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$. Точка $x_0 = -3$, $y_0 = 0$.
• Производная функции:

  $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{x + 3} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 3}}.$$

  Для $x \geq -3$ производная всегда положительная, так как знаменатель всегда положителен (корень из положительного числа). Это означает, что функция возрастает на всей области определения.

• $k = 1 > 0$ и $a = 1 > 0$ — функция возрастает.

Таблица значений функции для нескольких значений $x$:

• При $x = -3$, $y = \sqrt{-3 + 3} = 0$.
• При $x = -2$, $y = \sqrt{-2 + 3} = \sqrt{1} = 1$.
• При $x = 1$, $y = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$.
• При $x = 6$, $y = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$.

Обратная функция:

Мы ищем функцию, обратную данной, то есть такую, которая выражает $x$ через $y$. Для этого:

$$y = \sqrt{x + 3}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$y^2 = x + 3$$ $$x = y^2 — 3.$$

Таким образом, обратная функция: $x = y^2 — 3$, где $y \geq 0$ (так как $y = \sqrt{x + 3}$, и значение под корнем всегда неотрицательное).

Точка пересечения с осью $x$ (когда $y = 0$): $x = 0^2 — 3 = -3$. Точка $x_0 = 0$, $y_0 = -3$.

Таблица значений для обратной функции:

• При $x = 0$, $y = 0^2 — 3 = -3$.
• При $x = 1$, $y = 1^2 — 3 = -2$.
• При $x = 2$, $y = 2^2 — 3 = 1$.
• При $x = 3$, $y = 3^2 — 3 = 6$.

Графики функций:

Ответ: $y = x^2 — 3$, где $x \geq 0$.

б) $y = -\sqrt{2 — x}$

Анализ данной функции:

• Функция задана как $y = -\sqrt{2 — x}$.
• Предел области определения функции: для выражения $\sqrt{2 — x}$, чтобы значение под корнем было неотрицательным, требуется $2 — x \geq 0$, то есть $x \leq 2$. Таким образом, область определения функции: $x \leq 2$.
• Точка пересечения с осью $y$ (когда $x = 2$): $y = -\sqrt{2 — 2} = -\sqrt{0} = 0$. Точка $x_0 = 2$, $y_0 = 0$.
• Производная функции:

  $$y’ = \frac{d}{dx} \left( -\sqrt{2 — x} \right) = \frac{1}{2 \sqrt{2 — x}}.$$

  Для $x \leq 2$ производная всегда отрицательная, так как знаменатель всегда положительный (корень из положительного числа), а знак минус перед производной указывает на убывание функции на всей области определения.

• $k = -1 < 0$ и $a = -1 < 0$ — функция убывает.

Таблица значений функции для нескольких значений $x$:

Обратная функция:

Мы ищем функцию, обратную данной, то есть такую, которая выражает $x$ через $y$. Для этого:

$$y = -\sqrt{2 — x}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$y^2 = 2 — x$$ $$x = 2 — y^2.$$

Таким образом, обратная функция: $x = 2 — y^2$, где $y \leq 0$ (так как $y = -\sqrt{2 — x}$, и функция всегда принимает отрицательные значения).

Точка пересечения с осью $x$ (когда $y = 0$): $x = 2 — 0^2 = 2$. Точка $x_0 = 0$, $y_0 = 2$.

Таблица значений для обратной функции:

Графики функций:

Ответ: $y = 2 — x^2$, где $x \leq 0$.

в) $y = \sqrt{2x — 1}$

Анализ данной функции:

• Функция задана как $y = \sqrt{2x — 1}$.
• Предел области определения функции: для выражения $\sqrt{2x — 1}$, чтобы значение под корнем было неотрицательным, требуется $2x — 1 \geq 0$, то есть $x \geq 0.5$. Таким образом, область определения функции: $x \geq 0.5$.
• Точка пересечения с осью $y$ (когда $x = 0.5$): $y = \sqrt{2(0.5) — 1} = \sqrt{0} = 0$. Точка $x_0 = 0.5$, $y_0 = 0$.
• Производная функции:

  $$y’ = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{2x — 1} \right) = \frac{2}{2\sqrt{2x — 1}} = \frac{1}{\sqrt{2x — 1}}.$$

  Для $x \geq 0.5$ производная всегда положительная, так как знаменатель всегда положителен (корень из положительного числа). Это означает, что функция возрастает на всей области определения.

• $k = 2 > 0$ и $a = 1 > 0$ — функция возрастает.

Таблица значений функции для нескольких значений $x$:

Обратная функция:

Мы ищем функцию, обратную данной, то есть такую, которая выражает $x$ через $y$. Для этого:

$$y = \sqrt{2x — 1}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$y^2 = 2x — 1$$ $$2x = y^2 + 1$$ $$x = \frac{y^2 + 1}{2}.$$

Таким образом, обратная функция: $x = \frac{y^2 + 1}{2}$, где $y \geq 0$.

Точка пересечения с осью $x$ (когда $y = 0$): $x = \frac{0^2 + 1}{2} = 0.5$. Точка $x_0 = 0$, $y_0 = 0.5$.

Таблица значений для обратной функции:

Графики функций:

Ответ: $y = \frac{x^2 + 1}{2}$, где $x \geq 0$.

г) $y = -\sqrt{3 — 5x}$

Анализ данной функции:

• Функция задана как $y = -\sqrt{3 — 5x}$.
• Предел области определения функции: для выражения $\sqrt{3 — 5x}$, чтобы значение под корнем было неотрицательным, требуется $3 — 5x \geq 0$, то есть $x \leq \frac{3}{5}$. Таким образом, область определения функции: $x \leq \frac{3}{5}$.
• Точка пересечения с осью $y$ (когда $x = \frac{3}{5}$): $y = -\sqrt{3 — 5 \cdot \frac{3}{5}} = -\sqrt{0} = 0$. Точка $x_0 = \frac{3}{5}$, $y_0 = 0$.
• Производная функции:

  $$y’ = \frac{d}{dx} \left( -\sqrt{3 — 5x} \right) = \frac{5}{2\sqrt{3 — 5x}}.$$

  Для $x \leq \frac{3}{5}$ производная всегда отрицательная, так как знаменатель всегда положительный (корень из положительного числа), а знак минус перед производной указывает на убывание функции на всей области определения.

• $k = -5 < 0$ и $a = -1 < 0$ — функция убывает.

Таблица значений функции для нескольких значений $x$:

Обратная функция:

Мы ищем функцию, обратную данной, то есть такую, которая выражает $x$ через $y$. Для этого:

$$y = -\sqrt{3 — 5x}$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$y^2 = 3 — 5x$$ $$5x = 3 — y^2$$ $$x = \frac{3 — y^2}{5}.$$

Таким образом, обратная функция: $x = \frac{3 — y^2}{5}$, где $y \leq 0$.

Точка пересечения с осью $x$ (когда $y = 0$): $x = \frac{3 — 0^2}{5} = \frac{3}{5}$. Точка $x_0 = 0$, $y_0 = 0.6$.

Таблица значений для обратной функции:

Графики функций:

Ответ: $y = \frac{3 — x^2}{5}$, где $x \leq 0$.