ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.14 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) линейная;

б) квадратичная;

в) дробно-линейная;

г) вида $y=\sqrt{x+a}$

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) Линейная:

Линейная функция имеет вид:
$y = kx + b;$

Функция, обратная ей:
$x = ky + b;$
$ky = x — b;$
$y = \frac{x — b}{k};$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;
Ответ: может.

б) Квадратичная:

График квадратичной функции является параболой, значит каждому значению $y$, соответствует по два значения $x$ (кроме вершины);
Ответ: не может.

в) Дробно-линейная:

Дробно-линейная функция имеет вид:
$y = \frac{ax + b}{cx + d};$

Функция, обратная ей:
$x = \frac{ay + b}{cy + d};$
$x(cy + d) = ay + b;$
$xcy + dx = ay + b;$
$xcy — ay = b — dx;$
$y(cx — a) = b — dx;$
$y = \frac{b — dx}{cx — a};$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;
Ответ: может.

г) Вида $y = \sqrt{x + a}$:

Функция, обратная данной:
$x = \sqrt{y + a};$
$x^2 = y + a;$
$y = x^2 — a;$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;
Ответ: может.

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) Линейная:

Линейная функция имеет вид:

Линейная функция представляет собой выражение вида:

$$y = kx + b,$$

где $k$ и $b$ — постоянные числа, $k \neq 0$. Это уравнение описывает прямую линию с угловым коэффициентом $k$ и сдвигом по оси $y$, равным $b$.

Функция, обратная данной:

Чтобы найти обратную функцию, мы должны выразить $x$ через $y$. Начнем с того, что из исходного уравнения выразим $x$ через $y$:

$$y = kx + b$$

Решим это уравнение относительно $x$:

$$y — b = kx$$ $$x = \frac{y — b}{k}$$

Таким образом, обратная функция для линейной функции $y = kx + b$ имеет вид:

$$y = \frac{x — b}{k}.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Линейная функция является взаимно однозначной: для каждого $x$ существует только одно значение $y$, и для каждого $y$ существует только одно значение $x$. Это свойство линейных функций гарантирует существование обратной функции.

Ответ: Линейная функция может иметь обратную функцию, так как она является взаимно однозначной.

б) Квадратичная:

График квадратичной функции:

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ представляет собой параболу. Парабола симметрична относительно своей оси симметрии. Для каждого значения $y$, за исключением вершины параболы, существует два значения $x$, то есть для каждого значения $y$ существует два возможных значения $x$, если мы рассматриваем полный график функции.

Например, для квадратичной функции $y = x^2$, для значения $y = 4$ существует два значения $x$, равных $2$ и $-2$. Это характерно для всех квадратичных функций, где $x^2$ дает два возможных значения $x$ для каждого значения $y$ (кроме вершины, где $y = 0$).

Обратная функция:

Чтобы функция имела обратную, она должна быть взаимно однозначной, то есть каждому значению $y$ должно соответствовать только одно значение $x$. В случае с квадратичной функцией это условие не выполняется, поскольку для большинства значений $y$ существует два значения $x$, что нарушает принцип взаимно однозначного соответствия.

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Для квадратичной функции действительно каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$. Однако, наоборот, для каждого значения $y$ может существовать два значения $x$, что делает невозможным существование обратной функции для всей квадратичной функции.

Ответ: Квадратичная функция не может иметь обратную функцию, так как она не является взаимно однозначной.

в) Дробно-линейная:

Дробно-линейная функция имеет вид:

Дробно-линейная функция имеет вид:

$$y = \frac{ax + b}{cx + d},$$

где $a$, $b$, $c$, и $d$ — постоянные числа, $c \neq 0$.

Функция, обратная данной:

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$. Начнем с того, что:

$$y = \frac{ax + b}{cx + d}.$$

Умножим обе стороны на $cx + d$:

$$y(cx + d) = ax + b.$$

Раскроем скобки:

$$ycx + yd = ax + b.$$

Переносим все элементы, содержащие $x$, на одну сторону, а остальные — на другую:

$$x(cy — a) = b — yd.$$

Теперь выражаем $x$:

$$x = \frac{b — yd}{cy — a}.$$

Таким образом, обратная функция для дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ имеет вид:

$$x = \frac{b — yd}{cy — a}.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Дробно-линейная функция является взаимно однозначной. Для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и для каждого значения $y$ существует единственное значение $x$, если $c \neq 0$.

Ответ: Дробно-линейная функция может иметь обратную функцию, так как она является взаимно однозначной.

г) Вида $y = \sqrt{x + a}$:

Функция, обратная данной:

Данная функция имеет вид:

$$y = \sqrt{x + a}.$$

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Начнем с того, что возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$y^2 = x + a.$$

Переносим $a$ на другую сторону:

$$x = y^2 — a.$$

Таким образом, обратная функция для $y = \sqrt{x + a}$ будет:

$$x = y^2 — a.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Функция $y = \sqrt{x + a}$ является взаимно однозначной: для каждого значения $x$ существует только одно значение $y$, и наоборот, для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$, поскольку функция является возрастающей и всегда положительной (при условии, что $x \geq -a$).

Ответ: Функция $y = \sqrt{x + a}$ может иметь обратную функцию, так как она является взаимно однозначной.

Итоговые ответы:

• Линейная функция может иметь обратную.
• Квадратичная функция не может иметь обратную.
• Дробно-линейная функция может иметь обратную.
• Функция вида $y = \sqrt{x + a}$ может иметь обратную.