ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.15 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) линейная;

б) дробно-линейная;

в) вида $y=\sqrt{x+a}$

г) вида у = х³ + а?

Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) Линейная:

Линейная функция имеет вид:

$$y = kx + b;$$

Функция, обратная ей:

$$x = ky + b;$$ $$ky = x — b;$$ $$y = \frac{x — b}{k};$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: обязательно.

б) Дробно-линейная:

Дробно-линейная функция имеет вид:

$$y = \frac{ax + b}{cx + d};$$

Функция, обратная ей:

$$x = \frac{ay + b}{cy + d};$$ $$x(cy + d) = ay + b;$$ $$xcy + dx = ay + b;$$ $$xcy — ay = b — dx;$$ $$y(cx — a) = b — dx;$$ $$y = \frac{b — dx}{cx — a};$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: обязательно.

в) Вида $y = \sqrt{x + a}$:

Функция, обратная данной:

$$x = \sqrt{y + a};$$ $$x^2 = y + a;$$ $$y = x^2 — a;$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: обязательно.

г) Вида $y = x^3 + a$:

Функция, обратная данной:

$$x = y^3 + a;$$ $$y^3 = x — a;$$ $$y = \sqrt[3]{x — a};$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: обязательно.

Обязательно ли функция имеет обратную, если она:

а) Линейная:

Линейная функция имеет вид:

Линейная функция — это функция, которая может быть записана в виде:

$$y = kx + b,$$

где $k$ и $b$ — постоянные числа, при этом $k \neq 0$. В этой формуле:

• $k$ — угловой коэффициент, который определяет наклон прямой.
• $b$ — сдвиг по оси $y$, то есть значение $y$, когда $x = 0$.

График такой функции — прямая линия с угловым коэффициентом $k$ и сдвигом по оси $y$, равным $b$.

Функция, обратная данной:

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$. Исходя из того, что у нас есть линейное уравнение $y = kx + b$, решим его относительно $x$:

$$y = kx + b.$$

Переносим $b$ на другую сторону:

$$y — b = kx.$$

Делим обе стороны на $k$:

$$x = \frac{y — b}{k}.$$

Таким образом, обратная функция для линейной функции $y = kx + b$ имеет вид:

$$y = \frac{x — b}{k}.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Линейная функция является взаимно однозначной. Это означает, что для каждого значения $x$ существует ровно одно значение $y$, и для каждого значения $y$ существует ровно одно значение $x$. Следовательно, такая функция имеет обратную, и она обязательно существует.

Ответ: обязательно.

б) Дробно-линейная:

Дробно-линейная функция имеет вид:

Дробно-линейная функция — это функция вида:

$$y = \frac{ax + b}{cx + d},$$

где $a$, $b$, $c$ и $d$ — постоянные числа, и важно, чтобы $c \neq 0$ (иначе дробь становится неопределенной).

График такой функции представляет собой кривую, которая, как правило, имеет асимптоты, где дробь стремится к бесконечности.

Функция, обратная данной:

Чтобы найти обратную функцию, необходимо выразить $x$ через $y$. Начнем с того, что у нас есть выражение:

$$y = \frac{ax + b}{cx + d}.$$

Умножим обе стороны на $cx + d$:

$$y(cx + d) = ax + b.$$

Раскроем скобки:

$$xcy + dx = ax + b.$$

Переносим все элементы, содержащие $x$, на одну сторону, а остальные — на другую:

$$xcy — ax = b — dx.$$

Перегруппируем и получаем:

$$x(cy — a) = b — dx.$$

Выражаем $x$:

$$x = \frac{b — dy}{cy — a}.$$

Таким образом, обратная функция для дробно-линейной функции $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ имеет вид:

$$x = \frac{b — dy}{cy — a}.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Дробно-линейная функция является взаимно однозначной. Это значит, что для каждого $x$ существует одно единственное значение $y$, и наоборот, для каждого значения $y$ существует одно значение $x$. Таким образом, дробно-линейная функция имеет обратную, которая также является функцией.

Ответ: обязательно.

в) Вида $y = \sqrt{x + a}$:

Функция, обратная данной:

Рассмотрим функцию вида:

$$y = \sqrt{x + a}.$$

Чтобы найти обратную функцию, нужно выразить $x$ через $y$. Для этого начнем с того, что возведем обе стороны уравнения в квадрат:

$$y^2 = x + a.$$

Переносим $a$ на другую сторону:

$$x = y^2 — a.$$

Таким образом, обратная функция для данной функции $y = \sqrt{x + a}$ будет:

$$x = y^2 — a.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Функция $y = \sqrt{x + a}$ является возрастающей, что означает, что для каждого $x$ существует единственное значение $y$, и для каждого $y$ существует только одно значение $x$. Таким образом, эта функция является взаимно однозначной и имеет обратную функцию.

Ответ: обязательно.

г) Вида $y = x^3 + a$:

Функция, обратная данной:

Рассмотрим функцию вида:

$$y = x^3 + a.$$

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Начнем с того, что перенесем $a$ на другую сторону:

$$y — a = x^3.$$

Теперь извлекаем кубический корень из обеих сторон:

$$x = \sqrt[3]{y — a}.$$

Таким образом, обратная функция для $y = x^3 + a$ будет:

$$x = \sqrt[3]{y — a}.$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$:

Функция $y = x^3 + a$ является строго возрастающей функцией, так как ее производная $y’ = 3x^2$ всегда положительна (для всех $x$). Это означает, что для каждого значения $x$ существует только одно значение $y$, и для каждого значения $y$ существует только одно значение $x$. Следовательно, эта функция является взаимно однозначной и имеет обратную функцию.

Ответ: обязательно.

Итоговые ответы:

• Линейная функция имеет обратную функцию обязательно.
• Дробно-линейная функция имеет обратную функцию обязательно.
• Функция вида $y = \sqrt{x + a}$ имеет обратную функцию обязательно.
• Функция вида $y = x^3 + a$ имеет обратную функцию обязательно.