ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.16 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) четная;

б) нечетная;

в) периодическая;

г) непериодическая?

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) Четная:

Каждому значению четной функции, отличному от нуля, всегда соответствует как минимум два значения аргумента, то есть:

$$y(-x) = y(x);$$

Таким образом, функция может иметь обратную только в том случае, если она определена в одной точке $x = 0$;

Ответ: может, если $D(f) = \{0\}$.

б) Нечетная:

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x}$, она является нечетной:

$$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty);$$ $$y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -y(x);$$

Функция, обратная ей:

$$x = \frac{1}{y};$$ $$xy = 1;$$ $$y = \frac{1}{x};$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: может.

в) Периодическая:

Каждому значению периодической функции соответствует бесконечное множество значений аргумента, то есть:

$$(x; y), \, (x + T; y), \, (x + 2T; y), \ldots;$$

Значит, периодическая функция не может иметь обратную;

Ответ: не может.

г) Непериодическая:

Рассмотрим функцию $y = x$, она не является периодической:

$$y(x + T) = x + T \neq y(x);$$

Функция, обратная ей:

$$x = y;$$ $$y = x;$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: может.

а) Четная функция

Определение четной функции:

Функция называется четной, если для любого значения её аргумента $x$ выполняется равенство:

$$y(-x) = y(x)$$

То есть график четной функции симметричен относительно оси $y$.

Анализ:

Каждому значению четной функции, отличному от нуля, всегда будет соответствовать как минимум два значения аргумента. Это потому, что для любого значения $y$, принадлежащего образу функции, будет существовать два $x$, такие что $y(x) = y(-x)$.

То есть для любого значения функции $y(x)$ есть как минимум два разных значения $x$: одно положительное и одно отрицательное. Например, если $y = 4$, то существует как минимум два значения $x$, такие как $y(x_1) = 4$ и $y(x_2) = 4$, где $x_1 = -x_2$.

Следовательно, для того, чтобы функция имела обратную, она должна быть инъективной. Инъективность (или свойство взаимно однозначного соответствия) требует, чтобы каждому значению функции соответствовало только одно значение аргумента. В случае четной функции это нарушается, потому что для одного значения функции существует несколько значений аргумента.

Однако функция может иметь обратную, если она ограничена только одной точкой. То есть, если функция определена только в точке $x = 0$, то для этой точки, без учета её симметрии, она будет инъективной. Таким образом, обратная функция существует только для $x = 0$.

Ответ: может, если $D(f) = \{0\}$.

б) Нечетная функция

Определение нечетной функции:

Функция называется нечетной, если для любого значения её аргумента $x$ выполняется равенство:

$$y(-x) = -y(x)$$

То есть график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Анализ:

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{x}$, которая является примером нечетной функции:

$$D(f) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$$

То есть эта функция определена на всей числовой оси, за исключением точки $x = 0$.

Для этой функции выполняется свойство нечетности:

$$y(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -y(x)$$

Это подтверждает, что функция действительно нечетная.

Теперь рассмотрим обратную функцию. Для функции $y = \frac{1}{x}$ выражаем $x$ через $y$:

$$x = \frac{1}{y}$$

То есть обратная функция будет $y = \frac{1}{x}$, которая снова является функцией от $x$ и инвертирует начальное выражение.

Функция $y = \frac{1}{x}$ является взаимно однозначной, то есть для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, и наоборот.

Ответ: может.

в) Периодическая функция

Определение периодической функции:

Функция называется периодической, если существует такое положительное число $T$ (период), что для всех $x$ выполняется равенство:

$$y(x + T) = y(x)$$

Это значит, что функция повторяется через каждые $T$ единиц вдоль оси абсцисс.

Анализ:

Каждому значению периодической функции соответствует бесконечное множество значений аргумента. Например, для любой точки $(x_0, y_0)$, где $y(x_0) = y_0$, будут существовать другие точки вида $(x_0 + T, y_0)$, $(x_0 + 2T, y_0)$, и так далее. Это означает, что для каждого значения $y$ существует бесконечно много значений $x$, таких что $y(x) = y_0$.

Чтобы функция имела обратную, она должна быть инъективной (каждому значению функции должно соответствовать только одно значение аргумента). Однако для периодической функции это условие не выполняется, поскольку одно значение $y$ может быть получено для разных значений $x$, нарушая принцип однозначности.

Таким образом, периодическая функция не может быть инъективной и, следовательно, не может иметь обратную функцию.

Ответ: не может.

г) Непериодическая функция

Определение непериодической функции:

Функция называется непериодической, если она не повторяется через одинаковые промежутки времени. То есть для любой $T \neq 0$ существует $x_1 \neq x_2$, такие что $y(x_1) \neq y(x_2)$, если $x_1 \neq x_2$.

Анализ:

Рассмотрим функцию $y = x$, которая является непериодической. Для этой функции выполняется следующее:

$$y(x + T) = x + T \neq y(x) = x$$

Это подтверждает, что функция не периодична.

Функция $y = x$ имеет обратную, так как можно выразить $x$ через $y$:

$$x = y$$

Это означает, что обратная функция существует и она имеет вид $y = x$, что является тоже функцией от $x$.

Функция $y = x$ является инъективной, так как каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$, и наоборот.

Ответ: может.

Итоговые ответы:

а) Четная функция: может, если $D(f) = \{0\}$.

б) Нечетная функция: может.

в) Периодическая функция: не может.

г) Непериодическая функция: может.