ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.17 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) возрастающая;

б) убывающая;

в) имеет три нуля;

г) не имеет нулей?

Может ли функция иметь обратную, если она:

а) Возрастающая:

Рассмотрим функцию $y = x + 1$, она является возрастающей;

Функция, обратная ей:

$$x = y + 1;$$ $$y = x — 1;$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: может.

б) Убывающая:

Рассмотрим функцию $y = 3 — x$, она является убывающей;

Функция, обратная ей:

$$x = 3 — y;$$ $$y = 3 — x;$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: может.

в) Имеет три нуля:

Нулевому значению $(y = 0)$ такой функции соответствует более одного значения аргумента $x$;

Ответ: не может.

г) Не имеет нуль:

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 1$, она не имеет нулей:

$$\sqrt{x} + 1 = 0;$$ $$\sqrt{x} = -1 \quad \text{— нет корней};$$

Функция, обратная ей:

$$x = \sqrt{y} + 1;$$ $$\sqrt{y} = x — 1;$$ $$y = (x — 1)^2;$$

Каждому значению $x$ соответствует единственное значение $y$;

Ответ: может.

а) Возрастающая функция

Определение возрастающей функции:

Функция называется возрастающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ выполняется условие:

$$x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) < f(x_2)$$

То есть функция $f(x)$ возрастает, если её значение увеличивается при увеличении $x$.

Анализ:

Рассмотрим функцию $y = x + 1$, которая является линейной и возрастающей. Для всех $x_1$ и $x_2$, где $x_1 < x_2$, выполняется $x_1 + 1 < x_2 + 1$, что подтверждает, что функция действительно возрастающая.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Для этого:

$$y = x + 1$$

Перепишем это выражение, решив его относительно $x$:

$$x = y — 1$$

Таким образом, обратная функция будет:

$$y = x — 1$$

Функция $y = x — 1$ является линейной, и для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, что подтверждает инъективность функции.

Ответ: может.

б) Убывающая функция

Определение убывающей функции:

Функция называется убывающей, если для любых двух значений аргумента $x_1$ и $x_2$ выполняется условие:

$$x_1 < x_2 \quad \Rightarrow \quad f(x_1) > f(x_2)$$

То есть функция $f(x)$ убывает, если её значение уменьшается при увеличении $x$.

Анализ:

Рассмотрим функцию $y = 3 — x$, которая является линейной и убывающей. Для всех $x_1$ и $x_2$, где $x_1 < x_2$, выполняется $3 — x_1 > 3 — x_2$, что подтверждает, что функция действительно убывающая.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Для этого:

$$y = 3 — x$$

Перепишем это выражение, решив его относительно $x$:

$$x = 3 — y$$

Таким образом, обратная функция будет:

$$y = 3 — x$$

Функция $y = 3 — x$ является линейной, и для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$, что подтверждает инъективность функции.

Ответ: может.

в) Функция имеет три нуля

Анализ:

Если функция имеет три нуля, это означает, что существует три значения $x_1, x_2, x_3$ такие, что для этих значений $f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = 0$. Это нарушает принцип инъективности, потому что для одного значения функции $y = 0$ существует несколько значений $x$, что делает функцию многозначной.

Для того чтобы функция имела обратную, она должна быть инъективной (каждому значению $y$ должно соответствовать только одно значение $x$). В случае, если функция имеет несколько нулей (и других одинаковых значений), она не является инъективной, и следовательно, не может иметь обратную.

Ответ: не может.

г) Функция не имеет нуля

Анализ:

Рассмотрим функцию $y = \sqrt{x} + 1$. Для того чтобы эта функция не имела нулей, должно выполняться условие, что её значение никогда не равно нулю. Посмотрим, может ли функция $y = \sqrt{x} + 1$ принять значение 0:

$$\sqrt{x} + 1 = 0$$ $$\sqrt{x} = -1$$

Однако выражение $\sqrt{x} = -1$ не имеет решений в области действительных чисел, так как квадратный корень из любого неотрицательного числа не может быть отрицательным. Следовательно, функция $y = \sqrt{x} + 1$ не имеет нулей.

Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$. Для этого:

$$y = \sqrt{x} + 1$$

Решим это выражение относительно $x$:

$$\sqrt{x} = y — 1$$ $$x = (y — 1)^2$$

Таким образом, обратная функция будет:

$$y = (x — 1)^2$$

Функция $y = (x — 1)^2$ является инъективной на области $x \geq 0$ (поскольку для каждого значения $x$ существует единственное значение $y$). Следовательно, она имеет обратную функцию.

Ответ: может.

Итоговые ответы:

а) Возрастающая функция: может.

б) Убывающая функция: может.

в) Функция имеет три нуля: не может.

г) Функция не имеет нуля: может.