ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.18 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Рассмотрите график функции, представленный на рисунке, и укажите несколько числовых промежутков, на которых данная функция имеет обратную, и несколько, — на которых она не имеет обратной:

а) рис. 38;

б) рис. 39;

в) рис. 40;

г) рис. 41.

Функцию $y = f(x), x \in X$ называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке множества $X$;

а) Рисунок 38:

• Функция обратима на: $[-3; -1]$, $[-1; 2]$, $[2; 3]$, $[3; 4]$.
• Функция не обратима на: $[-3; 2]$, $[-1; 3]$, $[2; 4]$.

б) Рисунок 39:

• Функция обратима на: $[-3; -2]$, $[-2; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.
• Функция не обратима на: $[-3; -1]$, $[0; 3]$, $[1; 4]$.

в) Рисунок 40:

• Функция обратима на: $[-4; -1]$, $[-1; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.
• Функция не обратима на: $[-4; 0]$, $[0; 3]$, $[2; 4]$.

г) Рисунок 41:

• Функция обратима на: $[-3; -1]$, $[-1; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.
• Функция не обратима на: $[-4; 1]$, $[0; 2]$, $[1; 4]$.

Функция $y = f(x), x \in X$ называется обратимой, если для каждого значения $y$, которое принимает функция, существует только одна точка $x \in X$, такая что $f(x) = y$.

Для понимания этой задачи важно понять два ключевых аспекта:

1. Обратимость функции: Функция называется обратимой на интервале, если она принимает каждое свое значение только один раз. То есть, для каждого значения $y$ на интервале существует только одна точка $x$, такая что $f(x) = y$. Это означает, что функция не может быть многозначной на этом интервале, то есть не может иметь более одного значения $x$ для каждого $y$.
2. Необратимость функции: Функция не будет обратимой на интервале, если она принимает одно и то же значение $y$ в нескольких точках. Это может произойти, если функция имеет горизонтальные или вертикальные участки, где одно значение $y$ повторяется для разных значений $x$.

а) Рисунок 38

Обратимая на: $[-3; -1]$, $[-1; 2]$, $[2; 3]$, $[3; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-3; -1]$ функция строго возрастает (или убывает), и каждое значение $y$ принимает только в одной точке $x$. То есть для любого $y$ из этого диапазона существует только одна точка $x$, такая что $f(x) = y$.
• То же самое можно сказать для интервалов $[-1; 2]$, $[2; 3]$ и $[3; 4]$. На каждом из этих интервалов функция также строго монотонна (либо возрастает, либо убывает), что означает, что она принимает каждое значение $y$ только один раз.

Необратимая на: $[-3; 2]$, $[-1; 3]$, $[2; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-3; 2]$ функция принимает одно и то же значение $y$ в разных точках. Например, на участке $[-1; 2]$ функция может переходить через одно значение $y$ дважды (если это, например, параболический участок графика, где одно значение $y$ достигается для двух разных значений $x$).
• То же самое можно сказать о интервалах $[-1; 3]$ и $[2; 4]$. На этих интервалах функция не является инъективной, поскольку одно значение $y$ может быть достигнуто несколько раз.

б) Рисунок 39

Обратимая на: $[-3; -2]$, $[-2; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-3; -2]$ функция монотонно возрастает или убывает, принимая каждое значение $y$ только в одной точке $x$.
• Аналогично для интервалов $[-2; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; 4]$. На каждом из этих интервалов функция инъективна, то есть принимает одно значение $y$ для только одной точки $x$.

Необратимая на: $[-3; -1]$, $[0; 3]$, $[1; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-3; -1]$ функция не инъективна, так как одно значение $y$ может быть принято в разных точках. Это, возможно, связано с тем, что график имеет несколько «пиков» или «впадин».
• То же самое для интервала $[0; 3]$ и $[1; 4]$, где функция может проходить через одно и то же значение $y$ дважды.

в) Рисунок 40

Обратимая на: $[-4; -1]$, $[-1; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-4; -1]$ функция монотонна, и каждое значение $y$ соответствует только одному значению $x$.
• Это также справедливо для интервалов $[-1; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; 4]$. Функция не имеет повторяющихся значений на этих интервалах, и на каждом интервале $f(x) = y$ имеет единственное решение.

Необратимая на: $[-4; 0]$, $[0; 3]$, $[2; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-4; 0]$ функция может принимать одно и то же значение $y$ дважды, что нарушает инъективность.
• То же самое для интервалов $[0; 3]$ и $[2; 4]$, где функция не является инъективной, так как одно и то же значение $y$ может быть достигнуто для разных значений $x$.

г) Рисунок 41

Обратимая на: $[-3; -1]$, $[-1; 1]$, $[1; 3]$, $[3; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-3; -1]$ функция монотонно возрастает или убывает, и каждое значение $y$ принимает только одна точка $x$.
• Аналогично для интервалов $[-1; 1]$, $[1; 3]$ и $[3; 4]$. Эти интервалы соответствуют участкам графика, где функция не имеет горизонтальных участков или других особенностей, которые могли бы привести к неоднозначности.

Необратимая на: $[-4; 1]$, $[0; 2]$, $[1; 4]$.

Объяснение:

• На интервале $[-4; 1]$ функция может быть многозначной. Например, если график имеет несколько перегибов или асимптот, то одно и то же значение $y$ может быть достигнуто в разных точках.
• Это также справедливо для интервала $[0; 2]$ и $[1; 4]$, где функция имеет горизонтальные или изломанные участки, которые приводят к тому, что одно значение $y$ может быть принято несколькими значениями $x$.

Итог:

Для определения обратимости функции на интервалах важно внимательно анализировать график и определить, есть ли участки, где функция принимает одно и то же значение $y$ в разных точках. Обратимыми являются те интервалы, где функция является монотонной, то есть каждое значение $y$ соответствует только одному значению $x$. На остальных интервалах функция не обратима, поскольку для некоторых значений $y$ существует несколько значений $x$.