ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.19 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Рассмотрите данную функцию на каждом из указанных промежутков; если она на этом промежутке имеет обратную функцию, то задайте обратную функцию аналитически, укажите ее область определения и область значений, постройте ее график:

у = x²:

а) на R;

б) на [1; $+\mathrm{\infty );}$

в) на (-1; 5];

г) на ($-\mathrm{\infty }$; 0].

У квадратичной функции обратная функция может существовать только на промежутках, содержащих одну ветвь параболы;

Дана функция: $y = x^2$;

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$;

$a > 0$ — ветви направлены вверх;

а) На множестве $R$ обратной функции не существует;

Ответ: нет.

б) На промежутке $[1; +\infty)$:

Множество значений функции:
$y_{\text{min}} = y(1) = 1^2 = 1;$
$E(f) = [1; +\infty);$

Функция, обратная данной:
$x = y^2;$
$y = \sqrt{x}, \text{ где } x \geq 1;$
$x_0 = 0 \text{ и } y_0 = 0;$

График обратной функции:

Ответ: $y = \sqrt{x}; \, D(y) = E(y) = [1; +\infty).$

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует;

Ответ: нет.

г) На промежутке $(-∞; 0]$:

Множество значений функции:
$y_{\text{min}} = y(0) = 0^2 = 0;$
$E(f) = [0; +\infty);$

Функция, обратная данной:
$x = y^2;$

$y = -\sqrt{x}, \text{ где } x \geq 0;$

$x_0 = 0 \text{ и } y_0 = 0;$

График обратной функции:

Ответ: $y = -\sqrt{x}; \, D(y) = [0; +\infty); \, E(y) = (-\infty; 0].$

Дано:

$y = x^2$, где $x \in \mathbb{R}$ и $a = 1$, $b = 0$ (для квадратичной функции).

Мы хотим найти обратную функцию на различных промежутках.

Важные замечания:

Обратная функция существует только на промежутке, содержащем одну ветвь параболы. Это важно, потому что квадратичная функция не является взаимно однозначной на всей области определения: для любого значения $y > 0$ существует два значения $x$, одно положительное и одно отрицательное (например, $x = 2$ и $x = -2$ дают одинаковое значение $y = 4$).

Обратная функция: Чтобы найти обратную функцию, нужно решить уравнение $y = x^2$ относительно $x$, но при этом нужно ограничивать область значений $x$, чтобы функция была взаимно однозначной.

1. Анализ функции $y = x^2$

Параметры функции:

Квадратичная функция имеет вид $y = ax^2 + bx + c$, где $a = 1$, $b = 0$, $c = 0$.

Вершина параболы: так как $a > 0$, парабола направлена вверх, а её вершина находится в точке $x_0 = -\frac{b}{2a} = 0$, то есть в точке $(0, 0)$.

Область значений функции $E(f) = [0, +\infty)$, так как парабола направлена вверх, и на промежутке $[0, +\infty)$ функция монотонно возрастает.

Область определения: вся область $\mathbb{R}$, так как квадратичная функция определена для всех $x \in \mathbb{R}$.

2. Рассмотрим каждый из промежутков

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует

Обратная функция существует только на промежутке, где функция является взаимно однозначной. Вся область определения $\mathbb{R}$ включает обе ветви параболы: одну с положительными значениями $y$ (для $x > 0$) и другую с отрицательными значениями $y$ (для $x < 0$).

На всей области $\mathbb{R}$ не существует обратной функции, потому что одно и то же значение $y$ может быть получено двумя различными значениями $x$. Например, для $y = 4$ значения $x = 2$ и $x = -2$ дают одинаковый результат.

Следовательно, обратная функция не существует на всей области $\mathbb{R}$.

Ответ: нет.

б) На промежутке $[1; +\infty)$

Этот промежуток содержит только одну ветвь параболы (положительную), и на нём функция $y = x^2$ является монотонной (возрастающей).

Множество значений функции:

• Минимальное значение функции на этом промежутке: $y_{\text{min}} = y(1) = 1^2 = 1$.
• Множество значений функции: $E(f) = [1; +\infty)$, так как $y$ на этом промежутке принимает значения от 1 до бесконечности.

Нахождение обратной функции:
Чтобы найти обратную функцию, выразим $x$ через $y$:

$$y = x^2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{y}, \quad \text{где} \quad x \geq 1.$$

Обратная функция будет иметь вид:

$$y = \sqrt{x}, \quad \text{где} \quad x \geq 1.$$

Это означает, что на промежутке $[1; +\infty)$ обратная функция существует и выглядит как $y = \sqrt{x}$.

Таблица значений для функции и её обратной:

График обратной функции:

График функции $y = \sqrt{x}$ — это парабола, направленная вверх, и она существует только для $x \geq 1$.

Ответ: $y = \sqrt{x}; \, D(y) = E(y) = [1; +\infty).$

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует

На данном промежутке функция $y = x^2$ принимает два различных значения для каждого $y > 0$. Например, для $y = 4$ на промежутке $(-1; 5]$ значения $x = 2$ и $x = -2$ обе приводят к тому, что $y = 4$. Таким образом, функция не является взаимно однозначной, и её обратная функция не существует на этом промежутке.

Ответ: нет.

г) На промежутке $(-∞; 0]$

Этот промежуток соответствует одной из ветвей параболы, которая направлена вниз.

Множество значений функции:

• Минимальное значение функции на этом промежутке: $y_{\text{min}} = y(0) = 0^2 = 0$.
• Множество значений функции: $E(f) = [0; +\infty)$, так как функция на этом промежутке принимает значения от 0 до бесконечности.

Нахождение обратной функции:
Для функции на промежутке $(-\infty; 0]$ нам нужно выразить $x$ через $y$. Поскольку мы рассматриваем отрицательную ветвь параболы, то:

$$y = x^2 \quad \Rightarrow \quad x = -\sqrt{y}, \quad \text{где} \quad x \leq 0.$$

Обратная функция будет иметь вид:

$$y = -\sqrt{x}, \quad \text{где} \quad x \geq 0.$$

Таблица значений для функции и её обратной:

График обратной функции:

График функции $y = -\sqrt{x}$ — это парабола, направленная вниз, и она существует только для $x \geq 0$.

Ответ: $y = -\sqrt{x}; \, D(y) = [0; +\infty); \, E(y) = (-\infty; 0].$

Итоговый ответ:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

б) На промежутке $[1; +\infty)$ обратная функция существует. Ответ: $y = \sqrt{x}; \, D(y) = E(y) = [1; +\infty)$.

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

г) На промежутке $(-∞; 0]$ обратная функция существует. Ответ: $y = -\sqrt{x}; \, D(y) = [0; +\infty); \, E(y) = (-\infty; 0]$.