ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.20 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

у = x² — 2:

а) на R;

б) на [1; 2);

в) на (-1; 5];

г) на [-2; 0].

У квадратичной функции обратная функция может существовать только на промежутках, содержащих одну ветвь параболы;

Дана функция: $y = x^2 — 2$;

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$;

$a > 0$ — ветви направлены вверх;

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует;

Ответ: нет.

б) На промежутке $[1; 2)$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(1) = 1^2 — 2 = 1 — 2 = -1;$$ $$y_{\text{max}} = y(2) = 2^2 — 2 = 4 — 2 = 2;$$ $$E(f) = [-1; 2);$$

Функция, обратная данной:

$$x = y^2 — 2;$$ $$y^2 = x + 2;$$ $$y = \sqrt{x + 2}, \text{ где } -1 \leq x < 2;$$ $$x_0 = -2 \text{ и } y_0 = 0;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = \sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-1; 2); \, E(y) = [1; 2)$.

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует;

Ответ: нет.

г) На промежутке $[-2; 0]$:

Множество значений функции:

$$y_{\text{min}} = y(0) = 0^2 — 2 = -2;$$ $$y_{\text{max}} = y(-2) = (-2)^2 — 2 = 4 — 2 = 2;$$ $$E(f) = [-2; 2];$$

Функция, обратная данной:

$$x = y^2 — 2;$$ $$y^2 = x + 2;$$ $$y = -\sqrt{x + 2}, \text{ где } -2 \leq x \leq 2;$$ $$x_0 = -2 \text{ и } y_0 = 0;$$

График обратной функции:

Ответ: $y = -\sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-2; 2]; \, E(y) = [-2; 0]$.

Квадратичная функция:

$$$y = x^2 — 2$

Параметры функции:

$a = 1$ (коэффициент при $x^2$, положительный — парабола открывается вверх).

$b = 0$ (коэффициент при $x$).

$c = -2$ (свободный член).

Вершина параболы:
Для квадратичной функции вида $y = ax^2 + bx + c$ вершина находится в точке:

$$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0.$$

Подставляя в исходную функцию, получаем значение функции в вершине:

$$y_0 = (0)^2 — 2 = -2.$$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0, -2)$.

Направление ветвей:
Так как $a > 0$, то парабола направлена вверх, и её ветви растут, начиная с минимального значения в вершине.

Область определения функции $D(f)$:
Поскольку это квадратичная функция, её область определения — вся действительная прямая $\mathbb{R}$, то есть:

$$D(f) = \mathbb{R}.$$

Область значений функции $E(f)$:
Функция $y = x^2 — 2$ достигает минимального значения в вершине, и это минимальное значение равно $-2$. Поскольку парабола открывается вверх, значения функции на промежутке $[0; +\infty)$ будут возрастающими, а на промежутке $(-\infty; 0]$ — также возрастающими, но для отрицательных $x$.

Таким образом, область значений функции:

$$E(f) = [-2; +\infty).$$

1. Обратная функция для квадратичной функции

Для нахождения обратной функции нам нужно решить уравнение $y = x^2 — 2$ относительно $x$. Однако так как квадратичная функция не является взаимно однозначной на всей области определения, нужно рассматривать обратные функции на отдельных промежутках.

2. Разбор задачи по промежуткам

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует

На всей области $\mathbb{R}$ функция $y = x^2 — 2$ не является взаимно однозначной. Это связано с тем, что для любого положительного значения $y > 0$ существует два значения $x$, одно положительное и одно отрицательное (например, для $y = 4$ значения $x = 2$ и $x = -2$ дают одинаковое значение $y = 4$).

Ответ: нет, на множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует.

б) На промежутке $[1; 2)$

На данном промежутке функция является монотонной (возрастающей). Мы можем найти обратную функцию для этого промежутка.

Множество значений функции:

Для промежутка $[1; 2)$ находим значения функции:

Минимальное значение функции при $x = 1$:

$$y_{\text{min}} = y(1) = 1^2 — 2 = 1 — 2 = -1.$$

Максимальное значение функции при $x = 2$:

$$y_{\text{max}} = y(2) = 2^2 — 2 = 4 — 2 = 2.$$

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[1; 2)$ будет:

$$E(f) = [-1; 2).$$

Нахождение обратной функции:

Для нахождения обратной функции, выразим $x$ через $y$:

$$y = x^2 — 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y + 2 \quad \Rightarrow \quad x = \sqrt{y + 2}.$$

Так как на промежутке $[1; 2)$ $x$ всегда положительное, то обратная функция будет:

$$y = \sqrt{x + 2}, \quad \text{где} \quad -1 \leq x < 2.$$

Таким образом, обратная функция для промежутка $[1; 2)$ имеет вид:

$$y = \sqrt{x + 2}, \quad \text{где} \quad -1 \leq x < 2.$$

Таблица значений для функции и её обратной:

График обратной функции:

Ответ:
$y = \sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-1; 2); \, E(y) = [1; 2)$.

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует

На промежутке $(-1; 5]$ функция не является взаимно однозначной, так как на промежутке от $-1$ до $0$ значения $y$ могут быть одинаковыми для разных $x$. Например, для $y = 4$ на промежутке $(-1; 5]$ значения $x = 2$ и $x = -2$ дают одинаковое значение $y = 4$.

Ответ: нет, на промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует.

г) На промежутке $[-2; 0]$

На данном промежутке функция $y = x^2 — 2$ монотонно убывает, и она является взаимно однозначной на этом промежутке. Мы можем найти её обратную функцию для этого промежутка.

Множество значений функции:

Для промежутка $[-2; 0]$ находим значения функции:

Минимальное значение функции при $x = 0$:

$$y_{\text{min}} = y(0) = 0^2 — 2 = -2.$$

Максимальное значение функции при $x = -2$:

$$y_{\text{max}} = y(-2) = (-2)^2 — 2 = 4 — 2 = 2.$$

Таким образом, множество значений функции на промежутке $[-2; 0]$ будет:

$$E(f) = [-2; 2].$$

Нахождение обратной функции:

Для нахождения обратной функции, выразим $x$ через $y$:

$$y = x^2 — 2 \quad \Rightarrow \quad x^2 = y + 2 \quad \Rightarrow \quad x = -\sqrt{y + 2}.$$

Так как на промежутке $[-2; 0]$ $x$ всегда отрицательное, то обратная функция будет:

$$y = -\sqrt{x + 2}, \quad \text{где} \quad -2 \leq x \leq 2.$$

Таким образом, обратная функция для промежутка $[-2; 0]$ имеет вид:

$$y = -\sqrt{x + 2}, \quad \text{где} \quad -2 \leq x \leq 2.$$

Таблица значений для функции и её обратной:

График обратной функции:

Ответ:
$y = -\sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-2; 2]; \, E(y) = [-2; 0]$.

Итоговый ответ:

а) На множестве $\mathbb{R}$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

б) На промежутке $[1; 2)$ обратная функция существует. Ответ: $y = \sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-1; 2); \, E(y) = [1; 2)$.

в) На промежутке $(-1; 5]$ обратной функции не существует. Ответ: нет.

г) На промежутке $[-2; 0]$ обратная функция существует. Ответ: $y = -\sqrt{x + 2}; \, D(y) = [-2; 2]; \, E(y) = [-2; 0]$.