ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.23 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

На каждом из указанных промежутков найдите, если это возможно, функцию, обратную данной:

а) $y = \begin{cases} 2x — 5, & \text{если } x \leqslant 1; \\ x — 6, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

на $(-∞; 1]$, на $(1; +∞)$, на $R$;

б) $y = \begin{cases} 5 — x, & \text{если } x \leqslant 2; \\ 7 — 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

на $(-∞; 2]$, на $(2; +∞)$, на $R$;

в) $y = \begin{cases} 3x + 5, & \text{если } x \leqslant 0; \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

на $(-∞; 0]$, на $(0; +∞)$, на $R$;

г) $y = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leqslant 0; \\ 2 — 7x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

на $(-∞; 0]$, на $(0; +∞)$, на $R$.

а) $y = \begin{cases} 2x — 5, & \text{если } x \leq 1; \\ x — 6, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

На промежутке $(-∞; 1]$:

$$2x \leq 2 \quad => \quad 2x — 5 \leq -3 \quad => \quad y \leq -3;$$ $$x = 2y — 5;$$ $$2y = x + 5;$$ $$y = \frac{x + 5}{2}, \text{где } x \leq -3;$$

На промежутке $(1; +∞)$:

$$x > 1 \quad => \quad x — 6 > -5 \quad => \quad y > -5;$$ $$x = y + 6;$$ $$y = x + 6, \text{где } x > -5;$$

На множестве $R$ обратной функции не существует, так как функция принимает каждое из значений $-5 < y \leq -3$ в двух точках;

б) $y = \begin{cases} 5 — x, & \text{если } x \leq 2; \\ 7 — 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

На промежутке $(-∞; 2]$:

$$-x \geq -2 \quad => \quad 5 — x \geq 3 \quad => \quad y \geq 3;$$ $$x = 5 — y;$$ $$y = 5 — x, \text{где } x \geq 3;$$

На промежутке $(2; +∞)$:

$$-2x < -4 \quad => \quad 7 — 2x < 3 \quad => \quad y < 3;$$ $$x = 7 — 2y;$$ $$2y = 7 — x;$$ $$y = \frac{7 — x}{2}, \text{где } x < 3;$$

На множестве $R$:

$$y = \begin{cases} 5 — x, & \text{если } x \geq 3; \\ \frac{7 — x}{2}, & \text{если } x < 3 \end{cases};$$

в) $y = \begin{cases} 3x + 5, & \text{если } x \leq 0; \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

На промежутке $(-∞; 0]$:

$$3x \leq 0 \quad => \quad 3x + 5 \leq 5 \quad => \quad y \leq 5;$$ $$x = 3y + 5;$$ $$3y = x — 5;$$ $$y = \frac{x — 5}{3}, \text{где } x \leq 5;$$

На промежутке $(0; +∞)$:

$$x^2 > 0 \quad => \quad y > 0;$$ $$x = y^2;$$ $$y = \sqrt{x}, \text{где } x > 0;$$

На множестве $R$ обратной функции не существует, так как функция принимает каждое из значений $0 < y \leq 5$ в двух точках;

г) $y = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leq 0; \\ 2 — 7x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

На промежутке $(-∞; 0]$:

$$-x \geq 0 \quad => \quad 3 — x \geq 3 \quad => \quad y \geq 3;$$ $$x = 3 — y;$$ $$y = 3 — x, \text{где } x \geq 3;$$

На промежутке $(0; +∞)$:

$$-7x < 0 \quad => \quad 2 — 7x < 2 \quad => \quad y < 2;$$ $$x = 2 — 7y;$$ $$7y = 2 — x;$$ $$y = \frac{2 — x}{7}, \text{где } x < 2;$$

На множестве $R$:

$$y = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \geq 3; \\ \frac{2 — x}{7}, & \text{если } x < 2 \end{cases};$$

а)

Функция $y = \begin{cases} 2x — 5, & \text{если } x \leq 1; \\ x — 6, & \text{если } x > 1 \end{cases}$

На промежутке $(-\infty; 1]$:

Для $x \leq 1$, функция представлена выражением $y = 2x — 5$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 2x — 5$$

Прибавим 5 к обеим частям:

$$y + 5 = 2x$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{y + 5}{2}$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(-\infty; 1]$. Однако нужно учесть, что $x \leq 1$, значит, $y \leq -3$, так как при $x = 1$ получаем $y = 2(1) — 5 = -3$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 1]$ обратная функция будет:

$$y = \frac{x + 5}{2}, \quad \text{где } x \leq -3$$

На промежутке $(1; +\infty)$:

Для $x > 1$, функция представлена выражением $y = x — 6$.

Чтобы найти обратную функцию, снова выражаем $x$ через $y$:

$$y = x — 6$$

Прибавим 6 к обеим частям:

$$y + 6 = x$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(1; +\infty)$. На этом промежутке $y > -5$, так как при $x = 1$ получаем $y = 1 — 6 = -5$.

Таким образом, на промежутке $(1; +\infty)$ обратная функция будет:

$$y = x + 6, \quad \text{где } x > -5$$

На множестве $\mathbb{R}$:

Обратной функции на всем множестве $\mathbb{R}$ не существует, так как функция принимает одно и то же значение для двух разных $x$ на интервале $(-5 < y \leq -3)$. Например, $y = -4$ может быть получено как для $x = 0$ (при $x \leq 1$), так и для $x = 2$ (при $x > 1$).

б)

Функция $y = \begin{cases} 5 — x, & \text{если } x \leq 2; \\ 7 — 2x, & \text{если } x > 2 \end{cases}$

На промежутке $(-\infty; 2]$:

Для $x \leq 2$, функция представлена выражением $y = 5 — x$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 5 — x$$

Переносим $x$ на одну сторону:

$$x = 5 — y$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(-\infty; 2]$. На этом промежутке $x \geq 3$, так как при $x = 2$ получаем $y = 5 — 2 = 3$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 2]$ обратная функция будет:

$$y = 5 — x, \quad \text{где } x \geq 3$$

На промежутке $(2; +\infty)$:

Для $x > 2$, функция представлена выражением $y = 7 — 2x$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 7 — 2x$$

Переносим $2x$ на одну сторону:

$$2x = 7 — y$$

Разделим обе части на 2:

$$x = \frac{7 — y}{2}$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(2; +\infty)$. На этом промежутке $x < 3$, так как при $x = 2$ получаем $y = 7 — 2(2) = 3$.

Таким образом, на промежутке $(2; +\infty)$ обратная функция будет:

$$y = \frac{7 — x}{2}, \quad \text{где } x < 3$$

На множестве $\mathbb{R}$:

На множестве $\mathbb{R}$, функция может быть представлена как:

$$y = \begin{cases} 5 — x, & \text{если } x \geq 3; \\ \frac{7 — x}{2}, & \text{если } x < 3 \end{cases}$$

в)

Функция $y = \begin{cases} 3x + 5, & \text{если } x \leq 0; \\ x^2, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Для $x \leq 0$, функция представлена выражением $y = 3x + 5$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 3x + 5$$

Прибавим 5 к обеим частям:

$$y — 5 = 3x$$

Разделим обе части на 3:

$$x = \frac{y — 5}{3}$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(-\infty; 0]$. На этом промежутке $x \leq 5$, так как при $x = 0$ получаем $y = 3(0) + 5 = 5$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0]$ обратная функция будет:

$$y = \frac{x — 5}{3}, \quad \text{где } x \leq 5$$

На промежутке $(0; +\infty)$:

Для $x > 0$, функция представлена выражением $y = x^2$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = x^2$$

Для получения $x$ из этого уравнения, берем квадратный корень из обеих частей:

$$x = \sqrt{y}, \quad \text{где } x > 0$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(0; +\infty)$. На этом промежутке $y > 0$, так как $x^2 > 0$ для всех $x > 0$.

Таким образом, на промежутке $(0; +\infty)$ обратная функция будет:

$$y = \sqrt{x}, \quad \text{где } x > 0$$

На множестве $\mathbb{R}$:

Обратной функции на всем множестве $\mathbb{R}$ не существует, так как функция принимает каждое значение $0 < y \leq 5$ в двух точках (например, $y = 4$ может быть получено при $x = 1$ или $x = -1$).

г)

Функция $y = \begin{cases} 3 — x, & \text{если } x \leq 0; \\ 2 — 7x, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

На промежутке $(-\infty; 0]$:

Для $x \leq 0$, функция представлена выражением $y = 3 — x$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 3 — x$$

Переносим $x$ на одну сторону:

$$x = 3 — y$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(-\infty; 0]$. На этом промежутке $x \geq 3$, так как при $x = 0$ получаем $y = 3$.

Таким образом, на промежутке $(-\infty; 0]$ обратная функция будет:

$$y = 3 — x, \quad \text{где } x \geq 3$$

На промежутке $(0; +\infty)$:

Для $x > 0$, функция представлена выражением $y = 2 — 7x$.

Чтобы найти обратную функцию, выражаем $x$ через $y$:

$$y = 2 — 7x$$

Переносим $7x$ на одну сторону:

$$7x = 2 — y$$

Разделим обе части на 7:

$$x = \frac{2 — y}{7}$$

Это и есть обратная функция на промежутке $(0; +\infty)$. На этом промежутке $x < 2$, так как при $x = 0$ получаем $y = 2$.

Таким образом, на промежутке $(0; +\infty)$ обратная функция будет:

$$y = \frac{2 — x}{7}, \quad \text{где } x < 2$$

На множестве $\mathbb{R}$:

Обратной функции на всем множестве $\mathbb{R}$ не существует, так как функция принимает одно и то же значение для двух разных $x$ на интервале $(-5 < y \leq -3)$. Например, $y = -2$ может быть получено как для $x = 1$, так и для $x = 3$.

Следовательно, на множестве $\mathbb{R}$ эта функция не имеет обратной функции.