ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.25 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

у = f(x) и у = g(x) — взаимно-обратные функции.

а) f(3) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(x) = 7 и g(x) = 3.

б) f(4) = 4 и g(25) = 9. Решите уравнения f(x²) = 25 и g(x²) = 4.

в) f(15) = -3 и g(-7) = 1. Решите уравнения f(t) = -7 и g(t) = 15.

г) f(7) = 5 и g(7) = 1. Решите уравнения f(3x) = 7 и g(5 — x) = 5.

Даны взаимно обратные функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а) $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$;

Первое уравнение:

$$f(x) = 7;$$ $$f(1) = 7;$$ $$x = 1;$$

Второе уравнение:

$$g(x) = 3;$$ $$g(5) = 3;$$ $$x = 5;$$

Ответ: $x = 1; \, x = 5$.

б) $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$;

Первое уравнение:

$$f(x^2) = 25;$$ $$f(9) = 25;$$ $$x^2 = 9;$$ $$x = \pm 3;$$

Второе уравнение:

$$g(x^2) = 4;$$ $$g(4) = 4;$$ $$x^2 = 4;$$ $$x = \pm 2;$$

Ответ: $x = \pm 3; \, x = \pm 2$.

в) $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$;

Первое уравнение:

$$f(t) = -7;$$ $$f(1) = -7;$$ $$t = 1;$$

Второе уравнение:

$$g(t) = 15;$$ $$g(-3) = 15;$$ $$t = -3;$$

Ответ: $t = 1; \, t = -3$.

г) $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$;

Первое уравнение:

$$f(3x) = 7;$$ $$f(1) = 7;$$ $$3x = 1;$$ $$x = \frac{1}{3};$$

Второе уравнение:

$$g(5 — x) = 7;$$ $$g(5) = 7;$$ $$5 — x = 5;$$ $$x = 0;$$

Ответ: $x = \frac{1}{3}; \, x = 0$.

Даны взаимно обратные функции: $y = f(x)$ и $y = g(x)$.

а) $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$

Задание 1: Найти $x$ из первого уравнения $f(x) = 7$

Нам даны $f(3) = 5$ и $g(7) = 1$. Это означает, что если мы применим функцию $g$ к числу 7, то получим 1, а если применим функцию $f$ к 3, получим 5. Но нас просят решить уравнение $f(x) = 7$.

Взаимность функций означает, что если $f(x) = 7$, то $g(7) = x$. То есть, чтобы решить $f(x) = 7$, мы находим $x$, которое приводит к $f(x) = 7$.

Зная, что $g(7) = 1$, мы можем утверждать, что $f(1) = 7$, так как $f$ и $g$ взаимно обратные функции.

Таким образом, решение первого уравнения $f(x) = 7$ даёт $x = 1$.

Задание 2: Найти $x$ из второго уравнения $g(x) = 3$

В данном случае мы ищем $x$, которое приводит к $g(x) = 3$. Но по аналогии с предыдущим уравнением для функции $f$, если $g(x) = 3$, то $f(3) = x$, поскольку функции взаимно обратны.

Из условия задачи мы знаем, что $f(3) = 5$, следовательно $g(5) = 3$.

Таким образом, решение второго уравнения $g(x) = 3$ даёт $x = 5$.

Ответ:

$$x = 1; \, x = 5$$

б) $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$

Задание 1: Найти $x$ из первого уравнения $f(x^2) = 25$

Нас просят решить уравнение $f(x^2) = 25$. Мы знаем, что $f(4) = 4$ и $g(25) = 9$. В этом случае, чтобы найти $x$, мы можем воспользоваться свойством обратных функций.

Из $f(x^2) = 25$ можно сделать вывод, что $x^2$ должно быть равно тому числу, которое даёт $f(x^2) = 25$. То есть нам нужно найти $x^2$, при котором $f(x^2) = 25$.

Из условия задачи $f(9) = 25$, следовательно, $x^2 = 9$, так как $f(9) = 25$.

Таким образом, $x = \pm 3$, потому что $x^2 = 9$ имеет два решения: $x = 3$ и $x = -3$.

Задание 2: Найти $x$ из второго уравнения $g(x^2) = 4$

Теперь мы решаем уравнение $g(x^2) = 4$. По аналогии с первым уравнением, мы ищем значение $x^2$, которое приведёт к $g(x^2) = 4$.

Из условия задачи мы знаем, что $g(4) = 4$, следовательно $x^2 = 4$, так как $g(4) = 4$.

Решение уравнения $x^2 = 4$ даёт два значения: $x = 2$ и $x = -2$.

Ответ:

$$x = \pm 3; \, x = \pm 2$$

в) $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$

Задание 1: Найти $t$ из первого уравнения $f(t) = -7$

Решаем уравнение $f(t) = -7$. Из условия задачи мы знаем, что $f(15) = -3$ и $g(-7) = 1$.

Поскольку функции $f$ и $g$ взаимно обратные, если $f(t) = -7$, то $g(-7) = t$, потому что $g$ является обратной функцией для $f$.

Из условия задачи мы знаем, что $g(-7) = 1$, значит, $t = 1$.

Задание 2: Найти $t$ из второго уравнения $g(t) = 15$

Теперь решаем уравнение $g(t) = 15$. Мы знаем, что $g(-7) = 1$ и $f(15) = -3$.

Взаимность функций даёт нам следующее: если $g(t) = 15$, то $f(15) = t$.

Из условия задачи $f(15) = -3$, значит $t = -3$.

Ответ:

$$t = 1; \, t = -3$$

г) $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$

Задание 1: Найти $x$ из первого уравнения $f(3x) = 7$

Решаем уравнение $f(3x) = 7$. Мы знаем, что $f(7) = 5$ и $g(7) = 1$.

Поскольку $f$ и $g$ взаимно обратны, если $f(3x) = 7$, то $g(7) = 3x$.

Из условия задачи мы знаем, что $g(7) = 1$, значит $3x = 1$.

Разделим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3}$$

Задание 2: Найти $x$ из второго уравнения $g(5 — x) = 7$

Теперь решаем уравнение $g(5 — x) = 7$. Из условия задачи мы знаем, что $g(7) = 1$.

Взаимность функций говорит, что если $g(5 — x) = 7$, то $f(5 — x) = 7$.

Поскольку $f(7) = 5$, мы получаем, что $5 — x = 5$, то есть:

$$x = 0$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{3}; \, x = 0$$