ГДЗ по Алгебре 10 Класс Номер 10.30 Профильный Уровень Мордкович — Подробные Ответы

Пусть у = f(x) и у = g(x) — взаимно-обратные функции. Постройте на двух различных чертежах графики функций у = f(g(x)) и у = g(f(x)), если:

а) D(f) = E(f) = R;

б) D(f) = E(f) = (0; 3];

в) D(f) = [1;3]; E(f) = R;

г) D(f) = [-2; 3]; E(f) = [-3; 2].

Функция всегда принимает только те значения, которые входят в область определения обратной ей функции, значит:

Если $g(x) = a$, тогда $f(g(x)) = f(a) = x$, где $x \in D(g)$;

Если $(x) = a$, тогда $g(f(x)) = g(a) = x$, где $x \in D(f)$;

а) $D(f) = E(f) = R$;

Область определения второй функции:
$D(g) = R$;

График функции $y = f(g(x))$:

График функции $y = g(f(x))$:

б) $D(f) = E(f) = (0; 3]$;

Область определения второй функции:
$D(g) = (0; 3]$;

График функции $y = f(g(x))$:

График функции $y = g(f(x))$:

в) $D(f) = [1; 3]$ и $E(f) = R$;

Область определения второй функции:
$D(g) = R$;

График функции $y = f(g(x))$:

График функции $y = g(f(x))$:

г) $D(f) = [-2; 3]$ и $E(f) = [-3; 2]$;

Область определения второй функции:
$D(g) = [-3; 2]$;

График функции $y = f(g(x))$:

График функции $y = g(f(x))$:

Общие положения:

• Функция $f(g(x))$ означает, что значение функции $g(x)$ подставляется в функцию $f(x)$.
• Функция $g(f(x))$ означает, что значение функции $f(x)$ подставляется в функцию $g(x)$.

Важные моменты:

• Функция $f(g(x))$ определена, если $g(x) \in D(f)$, то есть, если результат функции $g(x)$ попадает в область определения функции $f$.
• Функция $g(f(x))$ определена, если $f(x) \in D(g)$, то есть, если результат функции $f(x)$ попадает в область определения функции $g$.

Теперь перейдем к разбору каждого случая, предоставляя максимально подробное решение.

а) $D(f) = E(f) = R$

• Область определения функции $f$: $D(f) = R$, это означает, что функция $f$ определена для всех действительных чисел.
• Область значений функции $f$: $E(f) = R$, это означает, что функция $f$ может принимать любые значения из множества действительных чисел.

1) Область определения второй функции:

Для функции $g$ мы знаем, что область определения должна быть такой, чтобы результат $g(x)$ мог быть подставлен в функцию $f(x)$. Поскольку $D(f) = R$, то область определения функции $g$ может быть любая, то есть:

$$D(g) = R$$

2) График функции $y = f(g(x))$:

Композиция $f(g(x))$ будет определена для всех значений $x \in R$, так как область определения $g(x)$ покрывает все действительные числа, а область определения $f(x)$ тоже все числа. График будет зависеть от конкретных выражений для $f(x)$ и $g(x)$, но так как области определения функций охватывают все числа, композиция будет работать для всех значений $x$.

3) График функции $y = g(f(x))$:

Композиция $g(f(x))$ будет также определена для всех $x \in R$, так как область определения $f(x) = R$, и $g(x)$ определена на всем $R$. Таким образом, как и в предыдущем случае, график будет представлять собой универсальную зависимость от $x$, охватывая все действительные числа.

б) $D(f) = E(f) = (0; 3]$

• Область определения функции $f$: $D(f) = (0; 3]$, это означает, что функция $f$ определена только на интервале $(0; 3]$.
• Область значений функции $f$: $E(f) = (0; 3]$, это означает, что функция $f$ может принимать значения только в интервале $(0; 3]$.

1) Область определения второй функции:

Для того чтобы функция $f(g(x))$ была определена, необходимо, чтобы $g(x)$ попадал в область определения функции $f(x)$. Поскольку $D(f) = (0; 3]$, то область определения функции $g(x)$ будет ограничена этим интервалом. То есть:

$$D(g) = (0; 3]$$

2) График функции $y = f(g(x))$:

Поскольку область определения $g(x)$ ограничена интервалом $(0; 3]$, то функция $f(g(x))$ будет определена только на этом интервале. График функции $y = f(g(x))$ будет зависеть от конкретных выражений для $f(x)$ и $g(x)$, но он будет ограничен этим интервалом.

3) График функции $y = g(f(x))$:

Для того чтобы $g(f(x))$ была определена, область определения $f(x)$ должна попасть в область определения $g(x)$. Поскольку область определения $f(x)$ — это $(0; 3]$, то область определения функции $g(x)$ будет такой, что $f(x)$ всегда попадал в $D(g)$. Таким образом, график $y = g(f(x))$ будет определен на интервале $(0; 3]$.

в) $D(f) = [1; 3]$ и $E(f) = R$

• Область определения функции $f$: $D(f) = [1; 3]$, это означает, что функция $f$ определена только на интервале $[1; 3]$.
• Область значений функции $f$: $E(f) = R$, это означает, что функция $f$ может принимать все значения из множества действительных чисел.

1) Область определения второй функции:

Для того чтобы $f(g(x))$ была определена, необходимо, чтобы $g(x) \in [1; 3]$. Таким образом, область определения функции $g(x)$ будет такой, что её значения попадали в интервал $[1; 3]$:

$$D(g) = [1; 3]$$

2) График функции $y = f(g(x))$:

График функции будет ограничен областью $x \in [1; 3]$, поскольку $g(x)$ принимает значения на этом интервале, и только тогда можно подставить их в функцию $f(x)$, которая определена только на этом интервале.

3) График функции $y = g(f(x))$:

Для того чтобы $g(f(x))$ была определена, область значений $f(x)$ должна попадать в область определения $g(x)$. Поскольку $E(f) = R$, а $D(g) = [1; 3]$, график функции $y = g(f(x))$ будет определен только тогда, когда $f(x) \in [1; 3]$, то есть на интервале $[1; 3]$.

г) $D(f) = [-2; 3]$ и $E(f) = [-3; 2]$

• Область определения функции $f$: $D(f) = [-2; 3]$, это означает, что функция $f$ определена только на интервале $[-2; 3]$.
• Область значений функции $f$: $E(f) = [-3; 2]$, это означает, что функция $f$ может принимать значения только в интервале $[-3; 2]$.

1) Область определения второй функции:

Для того чтобы композиция $f(g(x))$ была определена, необходимо, чтобы $g(x)$ попадала в область определения функции $f(x)$. Поскольку $D(f) = [-2; 3]$, область определения $g(x)$ должна быть внутри этого интервала:

$$D(g) = [-2; 3]$$

2) График функции $y = f(g(x))$:

График функции $y = f(g(x))$ будет ограничен интервалом $[-2; 3]$, поскольку область определения $g(x)$ и функция $f(x)$ имеют ограничения на этом интервале.

3) График функции $y = g(f(x))$:

Для того чтобы $g(f(x))$ была определена, область значений $f(x)$ должна попадать в область определения $g(x)$. Поскольку $E(f) = [-3; 2]$ и $D(g) = [-3; 2]$, график функции $y = g(f(x))$ будет определен на интервале $[-2; 3]$.